((1,0)) Sobre funções contínuas:
Prove que f: R R é uma função contínua se e somente se para todo X subset R, tem-se f(barX) subset f(X).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma função fcolon RtoR é contínua se, e somente se, para todo subconjunto XsubsetR vale
fl(Xr);subset;,f(X),
Aqui vamos usar a definição topológica de continuidade (pré-imagem de conjunto aberto é aberto, ou equivalente, pré-imagem de fechado é fechado) e a definição de fecho (fechamento) de um conjunto:
X=xmidtoda vizinhança de x intercepta X ç

Passo 2

( Rightarrow) Suponha f contínua e tome yin f(X). Então existe xinX tal que y=f(x). Para mostrar yinf(X), considere uma vizinhança aberta V de y. Como f é contínua, a pré-imagem f^-1(V) é aberta em R e contém x. Mas xinX implica que f^-1(V) intercepta X, ou seja, existe x'in Xcap f^-1(V). Logo f(x')in f(X)cap V, o que mostra que toda vizinhança de y atinge f(X). Portanto yinf(X), e assim
f(X)subsetf(X)

Passo 3

( Leftarrow) Agora suponha que para todo XsubsetR valha f(X)subsetf(X). Vamos provar que f é contínua mostrando que a pré-imagem de todo conjunto fechado é fechado. Seja CsubsetR fechado. Então C=C. Aplique o resultado ao conjunto X=f^-1(C). Temos
fl(,f^-1(C)!r);subset;,fl(f^-1(C)r)! ;subset;C ;=;C
Isso significa que, para todo xin f^-1(C), vale f(x)in C, ou seja, xin f^-1(C). Logo
,f^-1(C)!;subset;f^-1(C),
o que implica f^-1(C)=f^-1(C), e portanto f^-1(C) é fechado. Como isso vale para todo fechado C, f é contínua.

Resposta

Foi demonstrado que f é contínua se, e somente se, para todo XsubsetR vale
fl(Xr);subset;,f(X),

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