Use a técnica de substituição simples para calcular as seguintes integrais.
\int_{1}^{e^{\pi / 3}} \frac{1}{x \cos (\ln x)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{1}^{e^{\pi/3}} \frac{1}{x\,\cos(\ln x)}\,dx
usando a técnica de substituição simples. O conteúdo aqui é mudança de variável em integrais, onde reconhecemos que algo como \frac{dx}{x} sugere usar u=\ln x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \ln x \quad\Longrightarrow\quad du = \frac{1}{x}\,dx.
Quando x=1, temos u=\ln1=0. Quando x=e^{\pi/3}, temos u=\ln(e^{\pi/3})=\pi/3. A integral vira
\int_{1}^{e^{\pi/3}} \frac{1}{x\,\cos(\ln x)}\,dx =\int_{0}^{\pi/3} \frac{1}{\cos u}\,du =\int_{0}^{\pi/3} \operatorname{sec} u\,du.

Passo 3

Precisamos do antiderivado de \operatorname{sec} u. A fórmula conhecida é
\int \operatorname{sec} u\,du = \ln\bigl|\operatorname{sec} u + \tan u\bigr| + C.
Logo
\int_{0}^{\pi/3} \operatorname{sec} u\,du =\Bigl[\ln\bigl|\operatorname{sec} u + \tan u\bigr|\Bigr]_{0}^{\pi/3}.

Passo 4

Agora avaliamos nos limites:
Em u=\pi/3 temos \operatorname{sec}(\pi/3)=2 e \tan(\pi/3)=\sqrt{3}, então
\ln\bigl|\operatorname{sec}(\pi/3)+\tan(\pi/3)\bigr| =\ln\bigl(2+\sqrt{3}\bigr).
Em u=0 temos \sec0=1 e \tan0=0, então
\ln\bigl|\sec0+\tan0\bigr| =\ln(1)=0.
Subtraindo, o valor da integral é
\ln\bigl(2+\sqrt{3}\bigr)-0 =\ln\bigl(2+\sqrt{3}\bigr).

Resposta

\ln\bigl(2+\sqrt{3}\bigr)

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