Determinação de constantes: Para cada função abaixo, determine o valor da constante para que o limite exista.
Determine
para que
exista.
Passo 1
O enunciado fornece a função por partes
e pede: determinar o valor da constante
para que
exista.
Informações relevantes:
- A parte esquerda (para
) é . - A parte direita (para
) é . - A incógnita é o número
. - A condição pedida é que o limite em
exista.]
Passo 2
O que significa “o limite existe” em
? Vou explicar isso de forma didática.
Definição prática: o limite
existe quando as duas aproximações, por valores menores que
(lado esquerdo) e por valores maiores que
(lado direito), tendem ao mesmo número finito.
Em símbolos:
Aqui
é o limite quando
se aproxima de
por valores menores (esquerda) e
é quando
se aproxima por valores maiores (direita).
Portanto, para que o limite exista precisamos calcular cada uma dessas duas quantias e exigir que sejam iguais.
Passo 3
Calcular a limite pelo lado esquerdo (
).
Para
temos
. Funções lineares são contínuas, ou seja, para esse tipo de função o limite ao aproximar-se de um ponto é simplesmente o valor da expressão com
substituído por esse ponto. Então:
Explicação extra curta: como
não tem “problema” (divisão por zero, raiz de número negativo, etc.), a operação limite é feita por substituição direta.
Passo 4
Calcular a limite pelo lado direito (
).
Para
temos
. Novamente é um polinômio (função contínua), então substituímos
:
Passo 5
Impor igualdade das duas limitações e resolver para
.
Pelo Passo 2, precisamos que
Substituindo os valores que encontramos:
Agora resolvemos essa equação simples:
Passo 6
Verificação e comentário final (rápido e encorajador).
Com
temos
e
, ou seja, ambos iguais. Assim o limite existe e vale
.
Além disso, a definição da função para
dá
, então com
a função é também contínua em
. Boa — você conseguiu! Continua assim que falta pouco.