Determinação de constantes: Para cada função abaixo, determine o valor da constante para que o limite exista.
f(x)= \begin{cases}k x+1, & \text { se } x<2 \\\ x^{2}-1, & \text { se } x \geq 2\end{cases}
Determine k para que \lim _{x \rightarrow 2} f(x) exista.

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
f(x)=\begin{cases}k x+1, & \text{se } x<2,\\[4pt] x^{2}-1, & \text{se } x\ge 2,\end{cases}
e pede: determinar o valor da constante k para que \lim_{x\to 2} f(x) exista.
Informações relevantes:
  • A parte esquerda (para x<2) é kx+1.
  • A parte direita (para x\ge 2) é x^{2}-1.
  • A incógnita é o número k.
  • A condição pedida é que o limite em x=2 exista.]

Passo 2

O que significa “o limite existe” em x=2? Vou explicar isso de forma didática.
Definição prática: o limite \lim_{x\to 2} f(x) existe quando as duas aproximações, por valores menores que 2 (lado esquerdo) e por valores maiores que 2 (lado direito), tendem ao mesmo número finito.
Em símbolos:
\lim_{x\to 2} f(x)\\ \text{existe} \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^+} f(x).
Aqui \lim_{x\to 2^-} é o limite quando x se aproxima de 2 por valores menores (esquerda) e \lim_{x\to 2^+} é quando x se aproxima por valores maiores (direita).
Portanto, para que o limite exista precisamos calcular cada uma dessas duas quantias e exigir que sejam iguais.

Passo 3

Calcular a limite pelo lado esquerdo ( x\to 2^-).
Para x<2 temos f(x)=kx+1. Funções lineares são contínuas, ou seja, para esse tipo de função o limite ao aproximar-se de um ponto é simplesmente o valor da expressão com x substituído por esse ponto. Então:
\lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^-} (k x+1)=k\cdot 2 + 1 = 2k+1.
Explicação extra curta: como kx+1 não tem “problema” (divisão por zero, raiz de número negativo, etc.), a operação limite é feita por substituição direta.

Passo 4

Calcular a limite pelo lado direito ( x\to 2^+).
Para x\ge 2 temos f(x)=x^{2}-1. Novamente é um polinômio (função contínua), então substituímos x=2:
\lim_{x\to 2^+} f(x)=\lim_{x\to 2^+} (x^{2}-1)=2^{2}-1=4-1=3.

Passo 5

Impor igualdade das duas limitações e resolver para k.
Pelo Passo 2, precisamos que
\lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^+} f(x).
Substituindo os valores que encontramos:
2k+1 = 3.
Agora resolvemos essa equação simples:
2k = 3-1 = 2,
k = \frac{2}{2} = 1.

Passo 6

Verificação e comentário final (rápido e encorajador).
Com k=1 temos \lim_{x\to 2^-} f(x)=2\cdot 1+1=3 e \lim_{x\to 2^+} f(x)=3, ou seja, ambos iguais. Assim o limite existe e vale 3.
Além disso, a definição da função para x\ge 2 f(2)=2^{2}-1=3, então com k=1 a função é também contínua em x=2. Boa — você conseguiu! Continua assim que falta pouco.

Resposta

k=1

Exercícios relacionados