Sobre uma partícula age uma força dada por F=x^2 y x+ y^2 x y (em Newtons).
Qual a variação da energia cinética em cada um desses casos?

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula sofre a força
vec F = x^2y,hat x ;+; y^2x,hat y
e pede a variação da energia cinética (ΔK) “em cada um desses casos”. Isso é mecânica clássica: sabemos que ΔK = trabalho da força, ou seja
De
Para resolver precisamos conhecer os trajetos (os “casos”) pelos quais a partícula se move, já que essa força pode ser não-conservativa.

Passo 2

Vamos verificar se a força é conservativa (se o trabalho depender só dos pontos inicial e final) calculando o rotacional:
nabla times vec F = gl(partialpartial x(y^2x) - partialpartial y(x^2y)gr),hat z = l(y^2 - x^2r),hat z
Como em geral, a força é não-conservativa.

Passo 3

Num campo não-conservativo o trabalho depende do caminho. Logo, para cada “caso” (cada trajeto diferente) teremos uma integral distinta:
De
Sem especificar quais são esses casos – por exemplo, reta de A a B, curva y(x), ida em x depois em y etc. – não dá para calcular valores numéricos de ΔK.

Resposta

Precisamos que você informe exatamente quais trajetos (“casos”) a partícula percorre para que possamos avaliar cada integral e, assim, obter a variação da energia cinética em cada situação.

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