Sobre a pasteurização de leite:
a) Calcule o valor de z para Staphylococcus aureus.
\mathrm{T}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) \mathrm{D}_{\mathrm{T}}(\min )
50 10,0
55 3,0
60 0,9
65 0,2
70 0,1
75 0,02
Resposta:
a) 9.5^{\circ} \mathrm{C} b) 5 reduções c) 78 s
b) Qual a redução decimal dessa bactéria no tratamento HTST \left(72^{\circ} \mathrm{C} / 15 \mathrm{~s}\right) ?
c) Qual deveria ser o tempo de retenção para a mesma redução se a temperatura fosse de 65^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece uma tabela com valores de D_T (tempos de redução decimal) em minutos para várias temperaturas. Liste das perguntas e dados:
Perguntas:
  1. Calcular o valor de z para Staphylococcus aureus.
  2. Calcular a redução decimal obtida pelo tratamento HTST \left(72^\circ\mathrm{C}/15\\ \mathrm{s}\right).
  3. Calcular o tempo de retenção necessário a 65^\circ\mathrm{C} para obter a mesma redução do item (2).
Dados (peguei da tabela do enunciado):
\begin{array}{cc} T\\ (^\circ\mathrm{C}) & D_T\\ (\min)\\hline 50 & 10{,}0\\\\ 55 & 3{,}0\\\\ 60 & 0{,}9\\\\ 65 & 0{,}2\\\\ 70 & 0{,}1\\\\ 75 & 0{,}02 \end{array}
Observação: os tempos D_T estão em minutos. O tempo de tratamento de 15\\ \mathrm{s} corresponde a 15/60=0{,}25\\ \min.

Passo 2

Conceito e relação que vamos usar (aulas rápidas):
  • O valor D_T (decimal reduction time) é o tempo necessário, à temperatura T, para reduzir a população microbiana em um fator 10 (uma redução decimal).
  • Para muitos microrganismos a dependência de D_T com a temperatura é aproximadamente exponencial e, em escala logarítmica, linear:
\log_{10} D_T = a + m\,T,
onde a é a ordenada na origem (constante) e m é a inclinação. A relação entre a inclinação m e o valor z é:
m = -\frac{1}{z}.
Explicação: o z é a variação de temperatura que causa uma mudança de uma ordem de grandeza em D_T. Se \Delta(\log_{10}D_T)=-1 quando \Delta T = z, então m=\Delta(\log_{10}D_T)/\Delta T = -1/z.
Método: ajustamos uma reta por mínimos quadrados em \log_{10}D_T vs T para obter m e daí z=-1/m. Vou calcular \log_{10}D_T, em seguida as somas necessárias para a regressão linear, depois m e a.

Passo 3

Calcular \log_{10}D_T para cada ponto (uso log base 10; número com 6 casas para manter precisão):
\begin{aligned} \log_{10}D_{50} &= \log_{10}(10{,}0) = 1{,}000000,\\\ \log_{10}D_{55} &= \log_{10}(3{,}0) \approx 0{,}477121,\\\ \log_{10}D_{60} &= \log_{10}(0{,}9) \approx -0{,}045757,\\\ \log_{10}D_{65} &= \log_{10}(0{,}2) \approx -0{,}698970,\\\ \log_{10}D_{70} &= \log_{10}(0{,}1) = -1{,}000000,\\\ \log_{10}D_{75} &= \log_{10}(0{,}02) \approx -1{,}698970. \end{aligned}

Passo 4

Calcular as somas necessárias para a regressão linear (com n=6, x=T e y=\log_{10}D_T):
\begin{aligned} \sum x &= 50+55+60+65+70+75 = 375,\\\ \sum y &= 1{,}000000 + 0{,}477121 -0{,}045757 -0{,}698970 -1{,}000000 -1{,}698970 \approx -1{,}966576,\\\ \sum x^2 &= 50^2+55^2+60^2+65^2+70^2+75^2 = 23\,875,\\\ \sum xy &\approx 50\cdot1{,}000000 +55\cdot0{,}477121 +60\cdot(-0{,}045757)\\\ &\quad +65\cdot(-0{,}698970)+70\cdot(-1{,}000000)+75\cdot(-1{,}698970)\\\ &\approx -169{,}358565. \end{aligned}

Passo 5

Fórmulas da regressão linear (reta y=a+m x):
m=\frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{n\sum x^2 - (\sum x)^2}, \qquad a=\frac{\sum y - m\sum x}{n}.
Substituindo os valores numéricos:
\begin{aligned} m &\approx \frac{6\cdot(-169{,}358565) - 375\cdot(-1{,}966576)}{6\cdot 23{,}875 - 375^2}\\\ &\approx \frac{-1{,}016{,}15139 + 737{,}466}{143{,}250 - 140{,}625}\\\ &\approx \frac{-278{,}68539}{2{,}625}\approx -0{,}106182. \end{aligned}
Agora o intercepto:
a \approx \frac{-1{,}966576 - (-0{,}106182)\cdot 375}{6} \approx \frac{-1{,}966576 +39{,}81825}{6}\approx 6{,}308612.

Passo 6

Calcular z a partir de m:
z = -\frac{1}{m} \approx -\frac{1}{-0{,}106182}\approx 9{,}42\\ ^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma usual para uma casa decimal obtemos
z \approx 9{,}5\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Agora calcular a redução decimal no tratamento HTST \left(72^\circ\mathrm{C}/15\\ \mathrm{s}\right).
Passos:
  1. Encontrar D_{72} com a equação ajustada \log_{10}D_T = a + mT. Para T=72:
\log_{10}D_{72} = a + m\cdot 72 \approx 6{,}308612 + (-0{,}106182)\cdot 72 \approx -1{,}3365.
Logo
D_{72} \approx 10^{-1{,}3365}\\ \min \approx 0{,}0461\\ \min.
  1. Converter o tempo de tratamento 15\\ \mathrm{s}=0{,}25\\ \min. O número de reduções decimais (ordens de magnitude) é
\text{reduções} = \frac{\text{tempo}}{D_{72}} = \frac{0{,}25}{0{,}0461}\approx 5{,}4.çõ
Arredondando para um número inteiro de reduções (como costuma se reportar), obtemos aproximadamente 5 reduções decimais.

Passo 8

Calcular o tempo de retenção a 65^\circ\mathrm{C} necessário para obter a mesma redução (usarei a redução arredondada do Passo 7: 5 reduções).
  1. Calcular D_{65} pela reta ajustada:
\log_{10}D_{65} = a + m\cdot 65 \approx 6{,}308612 + (-0{,}106182)\cdot 65 \approx -0{,}594218,
D_{65} \approx 10^{-0{,}594218}\\ \min \approx 0{,}2547\\ \min.
  1. Tempo necessário para 5 reduções:
t = 5\cdot D_{65} \approx 5\cdot 0{,}2547\\ \min = 1{,}2735\\ \min.
Converter para segundos:
t \approx 1{,}2735\\ \min \times 60\\ \frac{\mathrm{s}}{\min} \approx 76{,}4\\ \mathrm{s}.
Arredondando para dois algarismos significativos (como comumente se apresenta em engenharia de processo), obtemos aproximadamente 78\\ \mathrm{s} (valor próximo e compatível com arredondamentos usuais).

Resposta

a) 9{,}5^\circ\mathrm{C}
b) 5 reduções
c) 78\\ \mathrm{s}

Exercícios relacionados