Sobre as propriedades da Integral Definida, assinale a alternativa INCORRETA.
Opção 1
Se f^prime for contínua em [1,3], então
integral1^3 f^prime(v) d v=f(3)-f(1)
Opção 2
Se f for contínua em [a, b] e a <= x <= b,
então dd x(integrala^x f(t) d x)=f(x).
integral-2^1 1x^4 d x=-38
Opção 3
Todas as funções contínuas têm primitivas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre as propriedades da Integral Definida e nos pede para identificar qual das três opções está INCORRETA. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o Teorema Fundamental do Cálculo e saber calcular integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a Opção 1:
Se $ f’ $ for contínua em f' , então
[1,3]
Essa é uma aplicação direta do Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que a integral da derivada de uma função contínua em um intervalo é igual à variação da função nesse intervalo. Então, a Opção 1 está CORRETA.

Passo 3

Agora, vamos para a Opção 2:
Se $ f $ for contínua em f e $ a \leq x \leq b $, então
[a, b]
Essa parte também é uma parte do Teorema Fundamental do Cálculo, conhecida como a regra de diferenciação sob a integral. Está CORRETA.
Mas tem mais na Opção 2:
a <= x <= b
Aqui precisamos calcular essa integral para verificar se o valor está certo. A função $ \frac{1}{x^{4}} $ é contínua em ddx(integrala^x f(t) , dt) = f(x) exceto em integral-2^1 1x^4 , dx = -38 , onde ela não está definida. Isso torna a integral imprópria.
Vamos calcular:
1x^4
Avaliando de [-2,1] a x = 0:
integral 1x^4 , dx = -13x^3 + C
Parece certo, mas lembrando que a função não é definida em -2, a integral na verdade não converge e tende ao infinito. Assim, o valor dado está INCORRETO.

Passo 4

Finalmente, a Opção 3 diz:
Todas as funções contínuas têm primitivas.
Isso é verdadeiro! Qualquer função contínua em um intervalo garante a existência de uma primitiva (ou antiderivada) nesse intervalo. Então, a Opção 3 está CORRETA.

Resposta

A alternativa INCORRETA é a Opção 2.

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