Sobre as propriedades da Integral Definida, assinale a alternativa INCORRETA.
Opção 1
Se
for contínua em [1,3], então
Opção 2
Se
for contínua em
e
,
então
.
Opção 3
Todas as funções contínuas têm primitivas.
Opção 1
Se
Se
então
Opção 3
Todas as funções contínuas têm primitivas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre as propriedades da Integral Definida e nos pede para identificar qual das três opções está INCORRETA. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o Teorema Fundamental do Cálculo e saber calcular integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a Opção 1:
Se $ f’ $ for contínua em , então
Se $ f’ $ for contínua em
Essa é uma aplicação direta do Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que a integral da derivada de uma função contínua em um intervalo é igual à variação da função nesse intervalo. Então, a Opção 1 está CORRETA.
Passo 3
Agora, vamos para a Opção 2:
Se $ f $ for contínua em e $ a \leq x \leq b $, então
Se $ f $ for contínua em
Essa parte também é uma parte do Teorema Fundamental do Cálculo, conhecida como a regra de diferenciação sob a integral. Está CORRETA.
Mas tem mais na Opção 2:
Aqui precisamos calcular essa integral para verificar se o valor está certo. A função $ \frac{1}{x^{4}} $ é contínua em
exceto em
, onde ela não está definida. Isso torna a integral imprópria.
Vamos calcular:
Avaliando de
a
:
Parece certo, mas lembrando que a função não é definida em
, a integral na verdade não converge e tende ao infinito. Assim, o valor dado está INCORRETO.
Passo 4
Finalmente, a Opção 3 diz:
Todas as funções contínuas têm primitivas.
Isso é verdadeiro! Qualquer função contínua em um intervalo garante a existência de uma primitiva (ou antiderivada) nesse intervalo. Então, a Opção 3 está CORRETA.
Todas as funções contínuas têm primitivas.
Isso é verdadeiro! Qualquer função contínua em um intervalo garante a existência de uma primitiva (ou antiderivada) nesse intervalo. Então, a Opção 3 está CORRETA.
Resposta
A alternativa INCORRETA é a Opção 2.