Aplique o teorema de Cauchy-Goursat para mostrar que
se o caminho
for o círculo unitário
, com qualquer orientação, e sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a integral de $ f(z) = \log(z+2) $ ao longo do caminho $ C $, que é o círculo unitário $ |z| = 1 $, é igual a zero. Para isso, vamos usar o Teorema de Cauchy-Goursat, que faz parte do conteúdo de Análise Complexa. Precisamos entender se a função $ f(z) $ é analítica dentro e sobre o círculo $ C $ para aplicar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Cauchy-Goursat: se uma função é analítica em uma região simplesmente conexa e no seu contorno fechado, então a integral dela ao longo desse contorno é zero. Ou seja,
desde que $ f(z) $ seja holomorfa (analítica) em toda a região envolvida pelo caminho $ C $.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função $ f(z) = \log(z+2) $. A função logarítmica complexa $ \log(w) $ é analítica em sua região de definição, que exclui pontos onde $ w = 0 $ e cortes de ramo (branch cuts). Aqui, $ w = z + 2 $, então precisamos ver onde $ z + 2 = 0 $, ou seja, $ z = -2 $.
Passo 4
O ponto $ z = -2 $ é onde a função $ f(z) = \log(z+2) $ não é analítica, pois o logaritmo não está definido nesse ponto. Então, temos que verificar se esse ponto $ z = -2 $ está dentro ou fora do círculo $ C $ de raio 1 com centro na origem.
Passo 5
Calculando a distância de $ z = -2 $ até a origem:
Como $ 2 > 1 $, o ponto $ z = -2 $ está fora do círculo $ C $. Isso significa que dentro e sobre o círculo $ C $, a função $ f(z) $ é analítica, pois não há singularidades dentro desse caminho.
Passo 6
Como $ f(z) = \log(z+2) $ é analítica em toda a região envolvida pelo círculo unitário $ C $ e no próprio caminho $ C $, podemos aplicar o Teorema de Cauchy-Goursat diretamente. Portanto, a integral de $ f(z) $ ao longo de $ C $ é zero.