Nos Exercícios de 1 a 8, use uma representação paramétrica de C ou dos arcos de C para calcular
integralC f(z) d z
f(z) é o ramo principal
z^a-1=exp [(a-1) log z] (|z|>0,-pi
da função potência z^a-1, em que a é um número real não nulo e C é o círculo de raio R centrado na origem orientado positivamente.

Passo 1

A questão pede o cálculo de integralC z^a-1dz, onde z^a-1=exp[(a-1)log z] é o ramo principal da potência (com ), e -pi é o círculo C orientado positivamente. Vamos usar uma parametrização de |z|=R.

Passo 2

Escolhemos a parametrização que mantém contínuo em Arg z:
(-pi,pi)
do que decorre
z(t)=Re^it, tin[-pi,pi],
e, pelo ramo principal, dz=iRe^itdt .

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integralC z^a-1dz =integral-pi^pie^(a-1)log(Re^it)cdot iRe^it,dt =integral-pi^pie^(a-1)(ln R+i t),iRe^it,dt

Passo 4

Agora simplificamos o integrando:
e^(a-1)(ln R+i t),Re^it=R^a-1e^i(a-1)t,Re^it=R^ae^i a t
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integralC z^a-1dz =iR^aintegral-pi^pie^i a tdt

Passo 5

Fazendo a primitiva de e^iat:
integral-pi^pie^i a tdt=l[e^i a ti ar]t=-pi^t=pi =1i al(e^i api-e^-i apir) =2isin(api)a
Multiplicando por iR^a
iR^acdot2isin(api)a=2i^2R^asin(api)a=-2R^asin(api)ai^0
Mas como i^2=-1, o sinal negativo some com i^2 e ficamos com Neste caso o produto icdot2i= -2, mas já levamos em conta acima. O resultado final é A expressão final da integral é Observação: verificando o produto corretamente, temos
itimes2isin(api)a=2i^2sin(api)a=-2sin(api)a,
porém faltou o fator R^a. Ao recompor, obtemos A integral é: Consolidando:

Resposta

integralC z^a-1dz=2iR^asin(api)a

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