Nos Exercícios de 1 a 8, use uma representação paramétrica de
ou dos arcos de
para calcular
é o ramo principal
da função potência
, em que
é um número real não nulo e
é o círculo de raio
centrado na origem orientado positivamente.
Passo 1
A questão pede o cálculo de
, onde
é o ramo principal da potência (com ), e
é o círculo
orientado positivamente. Vamos usar uma parametrização de
.
Passo 2
Escolhemos a parametrização que mantém contínuo em
:
do que decorre
e, pelo ramo principal,
.
Passo 3
Substituindo na integral, obtemos
Passo 4
Agora simplificamos o integrando:
Logo
Passo 5
Fazendo a primitiva de
:
Multiplicando por
dá
Mas como
, o sinal negativo some com
e ficamos com Neste caso o produto
, mas já levamos em conta acima. O resultado final é A expressão final da integral é Observação: verificando o produto corretamente, temos
porém faltou o fator
. Ao recompor, obtemos A integral é: Consolidando: