Livro: Cálculo Vol. II, James Stewart, 9a. Edição: Seção 11.10 (Séries de Taylor e Maclaurin):
Use séries de potências para aproximar o valor definido com precisão de seis casas decimais.
Passo 1
O problema pede para aproximar com precisão de seis casas decimais usando séries de potências (Maclaurin). Vamos precisar do desenvolvimento em série de e do critério do resto para garantir o erro.
Passo 2
A série de Maclaurin para é dada por
Isso significa que podemos construir aproximações somando termos até que o próximo seja pequeno o bastante.
Passo 3
Primeiro convertamos o ângulo para radianos, pois a série de Maclaurin usa radianos. Temos
Passo 4
Agora calculamos os três primeiros termos da série () em :
Somando esses termos:
Passo 5
Para garantir que essa soma está precisa em seis casas decimais, usamos o fato de que o resto ao truncar após satisfaz
o que é muito menor que 10^-6. Logo, o erro é menor que uma unidade na sexta casa decimal.
Passo 6
Portanto, podemos afirmar que a aproximação até T3 já garante seis casas decimais corretas. Arredondando S3 em seis casas decimais, obtemos o valor final.