Livro: Cálculo Vol. II, James Stewart, 9a. Edição: Seção 11.10 (Séries de Taylor e Maclaurin): 39
Use séries de potências para aproximar o valor definido com precisão de seis casas decimais.
sin 10^circ

Passo 1

O problema pede para aproximar sin 10^circ com precisão de seis casas decimais usando séries de potências (Maclaurin). Vamos precisar do desenvolvimento em série de sin x e do critério do resto para garantir o erro.

Passo 2

A série de Maclaurin para sin x é dada por
sin x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)! = x - x^33! + x^55! - x^77! + cdots
Isso significa que podemos construir aproximações somando termos até que o próximo seja pequeno o bastante.

Passo 3

Primeiro convertamos o ângulo para radianos, pois a série de Maclaurin usa radianos. Temos
10^circ = 10pi180 = pi18 approx 0,1745329252

Passo 4

Agora calculamos os três primeiros termos da série ( n=0,1,2) em x=pi/18:
T1 = x approx 0,1745329252,
T2 = -x^33! = -(0,1745329252)^36 approx -0,0008862589,
T3 = x^55! = (0,1745329252)^5120 approx 0,0000013499
Somando esses termos:
S3 = T1 + T2 + T3 approx 0,1745329252 - 0,0008862589 + 0,0000013499 = 0,1736480162

Passo 5

Para garantir que essa soma está precisa em seis casas decimais, usamos o fato de que o resto ao truncar após T3 satisfaz
|R3| <= l|T4r| = |x|^77! = (0,1745329252)^75040 approx 9,8times10^-10,
o que é muito menor que 10^-6. Logo, o erro é menor que uma unidade na sexta casa decimal.

Passo 6

Portanto, podemos afirmar que a aproximação até T3 já garante seis casas decimais corretas. Arredondando S3 em seis casas decimais, obtemos o valor final.

Resposta

0{,}173648

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