Sobre as raízes do polinômio
, é CORRETO afirmar que
nenhuma delas é um número real.
nenhuma delas é um número real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um polinômio $ p(x) = 2x^{4} - 7x^{3} + 7x^{2} - 7x + 5 $ e a afirmação que “nenhuma das raízes desse polinômio é um número real”. Nosso objetivo é verificar se isso é verdade. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre raízes de polinômios e como identificar se elas são reais ou complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as raízes de um polinômio são os valores de $ x $ que fazem $ p(x) = 0 $. No caso de um polinômio de quarto grau como esse, podemos ter até quatro raízes, que podem ser reais ou complexas. Importante: raízes complexas sempre aparecem em pares conjugados quando os coeficientes do polinômio são reais.
Passo 3
Para descobrir se existem raízes reais, vamos tentar encontrar valores de $ x $ que façam $ p(x) = 0 $. Uma maneira simples é testar alguns números para ver se a equação se torna verdadeira. Vamos começar tentando $ x = 1 $:
Então, $ x = 1 $ é uma raiz real do polinômio.
Passo 4
Já que encontramos uma raiz real, isso significa que a afirmação “nenhuma das raízes é um número real” está errada. Além disso, como o grau do polinômio é 4, se temos uma raiz real, podemos ter até três outras raízes, que podem ser reais ou complexas.
Passo 5
Para reforçar, se dividirmos o polinômio por $ (x - 1) $, podemos simplificá-lo e encontrar as outras raízes. Mas, já que encontramos pelo menos uma raiz real, não precisamos continuar para responder a pergunta inicial.
Resposta
A afirmação está errada, pois o polinômio $ p(x) $ possui pelo menos uma raiz real.