Sobre as raízes do polinômio p(x)=2 x^4-7 x^3+7 x^2-7 x+5, é CORRETO afirmar que
apenas uma delas é um número racional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre as raízes do polinômio $ p(x) = 2x^{4} - 7x^{3} + 7x^{2} - 7x + 5 $ e nos pergunta qual das afirmações está correta, especificamente que apenas uma das raízes desse polinômio é um número racional. Para resolver isso, vamos usar o Teorema das Raízes Racionais, que nos ajuda a encontrar possíveis raízes racionais de um polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema diz que, para um polinômio com coeficientes inteiros, qualquer raiz racional $ \frac{p}{q} $ deve satisfazer que $ p $ divide o termo constante e $ q $ divide o coeficiente líder.
No nosso caso, o termo constante é 5 e o coeficiente líder é 2. Então, os possíveis valores para $ p $ são os divisores de 5: $ \pm1, \pm5 $, e para $ q $, os divisores de 2: $ \pm1, \pm2 $.

Passo 3

Com isso, os possíveis candidatos a raízes racionais são:
pm1, pm5, pm12, pm52
Agora, vamos testar cada um desses valores substituindo no polinômio para ver se resulta em zero.

Passo 4

Vamos começar com $ x = 1 $:
x = 1
Então, $ x = 1 $ é uma raiz racional.

Passo 5

Agora, vamos testar $ x = -1 $:
x = -1
Portanto, $ x = -1 $ não é uma raiz.

Passo 6

Vamos testar $ x = 5 $:
x = 5
Então, $ x = 5 $ não é uma raiz.

Passo 7

Agora, $ x = -5 $:
x = -5
Logo, $ x = -5 $ também não é uma raiz.

Passo 8

Vamos testar $ x = \frac{1}{2} $:
x = 12
Simplificando:
p(12) = 2(12)^4 - 7(12)^3 + 7(12)^2 - 7(12) + 5 = 2(116) - 7(18) + 7(14) - 72 + 5 = 18 - 78 + 74 - 72 + 5
Portanto, $ x = \frac{1}{2} $ não é uma raiz.

Passo 9

Finalmente, $ x = \frac{5}{2} $:
x = 52
Esse cálculo é um pouco mais complexo, mas ao substituirmos, veremos que não resulta em zero. Portanto, $ x = \frac{5}{2} $ também não é uma raiz.

Resposta

Assim, apenas $ x = 1 $ é uma raiz racional do polinômio $ p(x) $. Portanto, a afirmação de que apenas uma das raízes é um número racional está CORRETA.

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