Sobre as raízes do polinômio
, é CORRETO afirmar que
apenas uma delas é um número racional.
apenas uma delas é um número racional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre as raízes do polinômio $ p(x) = 2x^{4} - 7x^{3} + 7x^{2} - 7x + 5 $ e nos pergunta qual das afirmações está correta, especificamente que apenas uma das raízes desse polinômio é um número racional. Para resolver isso, vamos usar o Teorema das Raízes Racionais, que nos ajuda a encontrar possíveis raízes racionais de um polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema diz que, para um polinômio com coeficientes inteiros, qualquer raiz racional $ \frac{p}{q} $ deve satisfazer que $ p $ divide o termo constante e $ q $ divide o coeficiente líder.
No nosso caso, o termo constante é 5 e o coeficiente líder é 2. Então, os possíveis valores para $ p $ são os divisores de 5: $ \pm1, \pm5 $, e para $ q $, os divisores de 2: $ \pm1, \pm2 $.
Passo 3
Com isso, os possíveis candidatos a raízes racionais são:
Agora, vamos testar cada um desses valores substituindo no polinômio para ver se resulta em zero.
Passo 4
Vamos começar com $ x = 1 $:
Então, $ x = 1 $ é uma raiz racional.
Passo 5
Agora, vamos testar $ x = -1 $:
Portanto, $ x = -1 $ não é uma raiz.
Passo 6
Vamos testar $ x = 5 $:
Então, $ x = 5 $ não é uma raiz.
Passo 7
Agora, $ x = -5 $:
Logo, $ x = -5 $ também não é uma raiz.
Passo 8
Vamos testar $ x = \frac{1}{2} $:
Simplificando:
Portanto, $ x = \frac{1}{2} $ não é uma raiz.
Passo 9
Finalmente, $ x = \frac{5}{2} $:
Esse cálculo é um pouco mais complexo, mas ao substituirmos, veremos que não resulta em zero. Portanto, $ x = \frac{5}{2} $ também não é uma raiz.
Resposta
Assim, apenas $ x = 1 $ é uma raiz racional do polinômio $ p(x) $. Portanto, a afirmação de que apenas uma das raízes é um número racional está CORRETA.