Sobre as raízes do polinômio p(x)=2 x^4-7 x^3+7 x^2-7 x+5, é CORRETO afirmar que
apenas duas delas são números reais.

Passo 1

O enunciado apresenta o polinômio p(x)=2x^4-7x^3+7x^2-7x+5. O objetivo é determinar quantas raízes reais ele possui, usando conceitos de número de raízes de polinômios, regra de Descartes para estimar o número de raízes positivas e negativas, além do Teorema das raízes racionais e divisão sintética para fatorar o polinômio.

Passo 2

Aplicando a regra de sinais de Descartes em p(x): há 4 trocas de sinal, logo podem existir 4, 2 ou 0 raízes positivas. Em p(-x)=2x^4+7x^3+7x^2+7x+5 não há trocas de sinal, então não há raízes negativas. Portanto, todas as raízes reais (se existirem) são positivas, em número 4, 2 ou 0.

Passo 3

Pela busca de raízes racionais candidatas (divisores de 5 sobre divisores de 2: pm1,pm5,pmtfrac12,pmtfrac52), testamos x=1:
p(1)=2-7+7-7+5=0,
logo x=1 é raiz. Fazendo divisão sintética de p(x) por x-1 obtemos o quociente
2x^3-5x^2+2x-5

Passo 4

Procura-se agora raiz racional desse cúbico. Testando x=tfrac52:
2l(tfrac52r)^3-5l(tfrac52r)^2+2l(tfrac52r)-5=0,
logo x=tfrac52 também é raiz. Dividindo o cúbico por x-tfrac52 por divisão sintética, obtemos o fator restante
2x^2+2=2(x^2+1)

Passo 5

Portanto o polinômio fatora-se como
p(x)=2, (x-1)l(x-tfrac52r)(x^2+1)

Passo 6

O fator x^2+1 não possui raízes reais (suas soluções são x=pm i). Logo as únicas raízes reais de p(x) são x=1 e x=tfrac52, totalizando exatamente duas raízes reais.

Resposta

Verdadeiro

Exercícios relacionados