Sobre as raízes do polinômio
, é CORRETO afirmar que
apenas duas delas são números reais.
apenas duas delas são números reais.
Passo 1
O enunciado apresenta o polinômio
. O objetivo é determinar quantas raízes reais ele possui, usando conceitos de número de raízes de polinômios, regra de Descartes para estimar o número de raízes positivas e negativas, além do Teorema das raízes racionais e divisão sintética para fatorar o polinômio.
Passo 2
Aplicando a regra de sinais de Descartes em
: há 4 trocas de sinal, logo podem existir 4, 2 ou 0 raízes positivas. Em
não há trocas de sinal, então não há raízes negativas. Portanto, todas as raízes reais (se existirem) são positivas, em número 4, 2 ou 0.
Passo 3
Pela busca de raízes racionais candidatas (divisores de 5 sobre divisores de 2:
), testamos
:
logo
Passo 4
Procura-se agora raiz racional desse cúbico. Testando
:
logo
Passo 5
Portanto o polinômio fatora-se como
Passo 6
O fator
não possui raízes reais (suas soluções são
). Logo as únicas raízes reais de
são
e
, totalizando exatamente duas raízes reais.
Resposta
Verdadeiro