Em uma classe de doze alunos, um grupo de 5 será selecionado para uma viagem. De quantas maneiras distintas esse grupo poderá ser formado, sabendo que, entre os doze alunos, 2 são irmãos e só poderão viajar se estiverem juntos?
Passo 1
O enunciado diz que temos 12 alunos e queremos formar um grupo de 5 para uma viagem. Entre esses 12, há 2 irmãos que só podem viajar juntos (ou os dois vão, ou os dois ficam).
Isso é um problema de contagem usando combinações. Vamos usar a fórmula de combinação
Isso é um problema de contagem usando combinações. Vamos usar a fórmula de combinação
para contar de quantas formas podemos escolher subgrupos de tamanho
a partir de
elementos, e considerar dois casos (irmãos dentro ou fora).
Passo 2
Identificamos os dois casos possíveis:
Caso A: os irmãos viajam juntos (os dois entram no grupo de 5).
Caso B: os irmãos não viajam (os dois ficam de fora).
Caso A: os irmãos viajam juntos (os dois entram no grupo de 5).
Caso B: os irmãos não viajam (os dois ficam de fora).
Passo 3
No Caso A, os 2 irmãos já estão no grupo. Precisamos, então, escolher mais
alunos entre os outros
que não são irmãos.
O número de jeitos de fazer isso é
O número de jeitos de fazer isso é
Passo 4
No Caso B, os 2 irmãos não entram. Precisamos escolher 5 alunos entre os mesmos 10 “não-irmãos”.
O número de maneiras é
O número de maneiras é
Passo 5
Como os dois casos (irmãos dentro ou irmãos fora) são mutuamente exclusivos e cobrem todas as possibilidades, somamos os resultados:
Resposta
O grupo pode ser formado de 372 maneiras.