Em uma classe de doze alunos, um grupo de 5 será selecionado para uma viagem. De quantas maneiras distintas esse grupo poderá ser formado, sabendo que, entre os doze alunos, 2 são irmãos e só poderão viajar se estiverem juntos?

Passo 1

O enunciado diz que temos 12 alunos e queremos formar um grupo de 5 para uma viagem. Entre esses 12, há 2 irmãos que só podem viajar juntos (ou os dois vão, ou os dois ficam).
Isso é um problema de contagem usando combinações. Vamos usar a fórmula de combinação
binomnk = n!k!(n-k)!
para contar de quantas formas podemos escolher subgrupos de tamanho a partir de elementos, e considerar dois casos (irmãos dentro ou fora).

Passo 2

Identificamos os dois casos possíveis:
Caso A: os irmãos viajam juntos (os dois entram no grupo de 5).
Caso B: os irmãos não viajam (os dois ficam de fora).

Passo 3

No Caso A, os 2 irmãos já estão no grupo. Precisamos, então, escolher mais binom103 = 10!3!,7! = 120 alunos entre os outros que não são irmãos.
O número de jeitos de fazer isso é

Passo 4

No Caso B, os 2 irmãos não entram. Precisamos escolher 5 alunos entre os mesmos 10 “não-irmãos”.
O número de maneiras é
binom105 = 10!5!,5! = 252

Passo 5

Como os dois casos (irmãos dentro ou irmãos fora) são mutuamente exclusivos e cobrem todas as possibilidades, somamos os resultados:
120 + 252 = 372

Resposta

O grupo pode ser formado de 372 maneiras.

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