Espaços Vetoriais Finitamente Gerados
Seja V=R^3 e considere os seguintes subespaços de R^3.
c U1=x, y, z in R mid x=z U2=x, y, z in R mid x+y=z
V é soma direta de U1 e U2 ?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem um espaço vetorial V = R^3 e dois subespaços U1 e U2 definidos por:
c U1 = x, y, z in R mid x = z U2 = x, y, z in R mid x + y = z
A pergunta é: V é a soma direta de U1 e U2 ?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa soma direta de subespaços. A soma direta, denotada por V = U1 oplus U2 , ocorre se duas condições forem verdadeiras:
  1. Soma dos Subespaços: Todo vetor em V pode ser escrito como a soma de um vetor de U1 e um vetor de U2 . Ou seja, V = U1 + U2 .
  2. Interseção Trivial: A única coisa que U1 e U2 têm em comum é o vetor nulo. Ou seja, U1 cap U2 = 0 .
Vamos verificar essas duas condições passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se [V = U_{1} + U_{2}). Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como , onde e .
Vamos supor que:
Então, a soma será:
Queremos que isso seja igual a qualquer . Assim, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para ver se conseguimos expressar .

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo:
  1. Primeira Equação: a + c = x
    Podemos isolar a :
a = x - c
  1. Segunda Equação: b + d = y
    Podemos isolar b :
b = y - d
  1. Terceira Equação: a + c + d = z
    Substituindo a da primeira equação:
    (x - c) + c + d = z
    Simplificando:
x + d = z
Então, d = z - x
Agora que temos d em termos de x e z , podemos substituir de volta:
  • d = z - x
  • b = y - d = y - (z - x) = y - z + x
  • a = x - c (ainda depende de c , que pode ser qualquer número real)
Como c pode ser qualquer valor real, isso significa que podemos sempre encontrar a, b, c, d para qualquer x, y, z . Portanto, todo vetor em V pode ser escrito como a soma de vetores em U1 e U2 .

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição para ser soma direta: [U_{1} \cap U_{2} = {0}). Isso significa que o único vetor que está em ambos e é o vetor nulo .
Para encontrar a interseção, vamos resolver o sistema de condições que define e :
Substituindo (x = z] na segunda equação:
Então, os vetores na interseção têm a forma . Para que isso seja igual ao vetor nulo, precisamos que . Portanto, o único vetor na interseção é .

Resposta

Sim, V é a soma direta de U1 e U2 . Portanto, V = U1 oplus U2 .

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