Espaços Vetoriais Finitamente Gerados
Seja e considere os seguintes subespaços de .
é soma direta de e ?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem um espaço vetorial e dois subespaços e definidos por:
A pergunta é: é a soma direta de e ?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa soma direta de subespaços. A soma direta, denotada por , ocorre se duas condições forem verdadeiras:
Soma dos Subespaços: Todo vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de . Ou seja, .
Interseção Trivial: A única coisa que e têm em comum é o vetor nulo. Ou seja, .
Vamos verificar essas duas condições passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se [V = U_{1} + U_{2}). Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como , onde e .
Vamos supor que:
Então, a soma será:
Queremos que isso seja igual a qualquer . Assim, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para ver se conseguimos expressar .
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações passo a passo:
Primeira Equação: a + c = x
Podemos isolar a :
a = x - c
Segunda Equação: b + d = y
Podemos isolar b :
b = y - d
Terceira Equação: a + c + d = z
Substituindo a da primeira equação: (x - c) + c + d = z
Simplificando:
x + d = z
Então, d = z - x
Agora que temos d em termos de x e z , podemos substituir de volta:
d = z - x
b = y - d = y - (z - x) = y - z + x
a = x - c (ainda depende de c , que pode ser qualquer número real)
Como c pode ser qualquer valor real, isso significa que podemos sempre encontrar a, b, c, d para qualquer x, y, z . Portanto, todo vetor em V pode ser escrito como a soma de vetores em U1 e U2 .
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda condição para ser soma direta: [U_{1} \cap U_{2} = {0}). Isso significa que o único vetor que está em ambos e é o vetor nulo .
Para encontrar a interseção, vamos resolver o sistema de condições que define e :
Substituindo (x = z] na segunda equação:
Então, os vetores na interseção têm a forma . Para que isso seja igual ao vetor nulo, precisamos que . Portanto, o único vetor na interseção é .
Resposta
Sim, V é a soma direta de U1 e U2 . Portanto, V = U1 oplus U2 .