Sobre a Terra há um campo elétrico atmosférico. Na superfície ele aponta perpendicularmente para dentro e tem uma intensidade média de 110 \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Faça uma estimativa de qual é a carga total sobre a superfície da Terra. Qual o sinal desta carga? (Dados: \varepsilon_{0}=8,85 \times 10^{-12} C^{2} / N m^{2}, R_{\text {Terra }}=6,37 \times 10^{3} \mathrm{~km} ).

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Estimar a carga total sobre a superfície da Terra e dizer o sinal dessa carga.
Informações fornecidas (peguei todos estes dados do enunciado):
  • Campo elétrico na superfície: \;E=110\\ \mathrm{V/m}, apontando perpendicularmente para dentro da Terra.
  • Constante dielétrica do vácuo: \;\varepsilon_{0}=8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}.
  • Raio da Terra: \;R_{\text{Terra}}=6,37\times10^{3}\\ \mathrm{km}. Converter para metros: \;R=6,37\times10^{6}\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Ideia física e fórmula que vamos usar (a explicação didática):
Quando temos um campo elétrico saindo ou entrando numa superfície fechada, a lei de Gauss relaciona o fluxo do campo através dessa superfície com a carga total contida dentro dela. A forma integral da lei de Gauss é
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Explicando cada termo:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico (vetor) em cada ponto da superfície.
  • d\mathbf{A} é o vetor área de um elemento infinitesimal da superfície; sua direção é a normal apontando para fora da superfície.
  • \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é o fluxo total do campo através da superfície fechada.
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície.
  • \varepsilon_{0} é a constante do meio (já dada).

Passo 3

Por que podemos aplicar essa fórmula aqui e qual superfície escolher:
A Terra é aproximadamente esférica e o enunciado diz que o campo na superfície é perpendicular (radial) e tem intensidade praticamente uniforme na superfície. Então escolhemos uma superfície gaussiana simples: a esfera de raio \;R (a superfície da Terra). Para uma esfera com campo radial e de magnitude constante sobre a superfície, o produto escalar \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é simplesmente \pm E\,dA (sinal depende da direção do campo em relação à normal, que é para fora). Assim o fluxo é
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E\cdot(4\pi R^{2})\times(\text{sinal}).
No caso dado o campo aponta para dentro (ou seja, contrário à normal para fora), então \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=-E\,dA e o fluxo é -E\cdot 4\pi R^{2}. Portanto, da lei de Gauss obtemos
Q_{\text{int}}=\varepsilon_{0}\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=-\varepsilon_{0} E \, 4\pi R^{2}.
Isso já nos dá também o sinal: como o fluxo é negativo (campo apontando para dentro), a carga total dentro da superfície é negativa.

Passo 4

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo (mostrando as contas para fazer sem calculadora complexa):
Primeiro o raio ao quadrado:
R^{2}=(6,37\times10^{6})^{2}=6,37^{2}\times10^{12}=40,5769\times10^{12}=4,05769\times10^{13}\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora a área da esfera:
4\pi R^{2}=4\pi\times4,05769\times10^{13}.
Aproximando 4\pi\approx12,56637,
4\pi R^{2}\approx12,56637\times4,05769\times10^{13}\approx5,099\times10^{14}\\ \mathrm{m^{2}}.
Multiplicando pela intensidade do campo:
E\cdot(4\pi R^{2})\approx110\times5,099\times10^{14}=5,609\times10^{16}.
Finalmente multiplicando por \varepsilon_{0} e lembrando do sinal negativo:
Q_{\text{int}}=-\varepsilon_{0} E 4\pi R^{2}\approx -8,85\times10^{-12}\times 5,609\times10^{16}.
Fazendo a multiplicação:
8,85\times5,609\approx49,64,
e o fator de potência de dez é 10^{-12}\times10^{16}=10^{4}. Assim
Q_{\text{int}}\approx -49,64\times10^{4}\\ \mathrm{C}=-4,964\times10^{5}\\ \mathrm{C}.
Arredondando para um algarismo significativo apropriado (os dados têm três algarismos), podemos escrever
Q_{\text{int}}\approx -5,0\times10^{5}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Interpretação final e incentivo:
O resultado significa que, considerando a média do campo elétrico na superfície, a carga total efetiva “sobre” (ou dentro de) a superfície da Terra é da ordem de algumas centenas de milhares de coulombs e tem sinal negativo. É uma estimativa global e média; localmente o campo e a carga variam bastante pela atmosfera e condições meteorológicas. Mas para uma prova, este procedimento (usar Gauss com a esfera) e este resultado são exatamente o que se espera. Vai dar tudo certo — respira, revisa este raciocínio e pratica mais um exercício parecido que tu tá pronto!

Resposta

-5,0\times10^{5}\\ \mathrm{C}

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