Sobre a Terra há um campo elétrico atmosférico. Na superfície ele aponta perpendicularmente para dentro e tem uma intensidade média de
. Faça uma estimativa de qual é a carga total sobre a superfície da Terra. Qual o sinal desta carga? (Dados:
).
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Estimar a carga total sobre a superfície da Terra e dizer o sinal dessa carga.
Informações fornecidas (peguei todos estes dados do enunciado):
- Campo elétrico na superfície:
, apontando perpendicularmente para dentro da Terra. - Constante dielétrica do vácuo:
. - Raio da Terra:
. Converter para metros: .
Passo 2
Ideia física e fórmula que vamos usar (a explicação didática):
Quando temos um campo elétrico saindo ou entrando numa superfície fechada, a lei de Gauss relaciona o fluxo do campo através dessa superfície com a carga total contida dentro dela. A forma integral da lei de Gauss é
Quando temos um campo elétrico saindo ou entrando numa superfície fechada, a lei de Gauss relaciona o fluxo do campo através dessa superfície com a carga total contida dentro dela. A forma integral da lei de Gauss é
Explicando cada termo:
-
é o campo elétrico (vetor) em cada ponto da superfície. -
é o vetor área de um elemento infinitesimal da superfície; sua direção é a normal apontando para fora da superfície. -
é o fluxo total do campo através da superfície fechada. -
é a carga total contida dentro da superfície. -
é a constante do meio (já dada).
Passo 3
Por que podemos aplicar essa fórmula aqui e qual superfície escolher:
A Terra é aproximadamente esférica e o enunciado diz que o campo na superfície é perpendicular (radial) e tem intensidade praticamente uniforme na superfície. Então escolhemos uma superfície gaussiana simples: a esfera de raio (a superfície da Terra). Para uma esfera com campo radial e de magnitude constante sobre a superfície, o produto escalar
é simplesmente
(sinal depende da direção do campo em relação à normal, que é para fora). Assim o fluxo é
A Terra é aproximadamente esférica e o enunciado diz que o campo na superfície é perpendicular (radial) e tem intensidade praticamente uniforme na superfície. Então escolhemos uma superfície gaussiana simples: a esfera de raio
No caso dado o campo aponta para dentro (ou seja, contrário à normal para fora), então
e o fluxo é
. Portanto, da lei de Gauss obtemos
Isso já nos dá também o sinal: como o fluxo é negativo (campo apontando para dentro), a carga total dentro da superfície é negativa.
Passo 4
Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo (mostrando as contas para fazer sem calculadora complexa):
Primeiro o raio ao quadrado:
Agora a área da esfera:
Aproximando
,
Multiplicando pela intensidade do campo:
Finalmente multiplicando por
e lembrando do sinal negativo:
Fazendo a multiplicação:
e o fator de potência de dez é
. Assim
Arredondando para um algarismo significativo apropriado (os dados têm três algarismos), podemos escrever
Passo 5
Interpretação final e incentivo:
O resultado significa que, considerando a média do campo elétrico na superfície, a carga total efetiva “sobre” (ou dentro de) a superfície da Terra é da ordem de algumas centenas de milhares de coulombs e tem sinal negativo. É uma estimativa global e média; localmente o campo e a carga variam bastante pela atmosfera e condições meteorológicas. Mas para uma prova, este procedimento (usar Gauss com a esfera) e este resultado são exatamente o que se espera. Vai dar tudo certo — respira, revisa este raciocínio e pratica mais um exercício parecido que tu tá pronto!
O resultado significa que, considerando a média do campo elétrico na superfície, a carga total efetiva “sobre” (ou dentro de) a superfície da Terra é da ordem de algumas centenas de milhares de coulombs e tem sinal negativo. É uma estimativa global e média; localmente o campo e a carga variam bastante pela atmosfera e condições meteorológicas. Mas para uma prova, este procedimento (usar Gauss com a esfera) e este resultado são exatamente o que se espera. Vai dar tudo certo — respira, revisa este raciocínio e pratica mais um exercício parecido que tu tá pronto!