Considere uma chapa plana e infinita, carregada uniformemente, de densidade \rho_{0} e de expessura d. Determine o campo elétrico gerado dentro e fora da chapa.

Passo 1

O enunciado dá uma chapa plana infinita, de espessura d, com densidade volumétrica de carga uniforme \rho_{0}. Pede-se determinar o campo elétrico gerado pela chapa no espaço: tanto dentro da chapa quanto fora dela.
Informações e escolhas para clareza (tudo dado ou escolhidos por simetria, não são suposições extras que alterem o problema):
  • A chapa é infinita nas direções paralelas ao plano e tem espessura finita d na direção perpendicular.
  • Vou escolher um eixo x perpendicular à chapa e colocar o centro da chapa em x=0. Assim as faces estão em x=\pm d/2.
  • A densidade volumétrica é constante: \rho(\mathbf{r})=\rho_{0} para |x|\le d/2 e \rho(\mathbf{r})=0 para |x|>d/2.
  • O que preciso encontrar: o vetor campo elétrico \mathbf{E}(x) como função de x, para |x|\le d/2 (dentro) e para |x|>d/2 (fora).

Passo 2

Por que usar a Lei de Gauss e qual a simetria aqui.
  • A chapa é infinita e uniformemente carregada nas direções do plano: portanto o problema tem simetria de translação e rotação em torno do eixo normal. Isso implica que o campo elétrico só depende da coordenada perpendicular x e aponta na direção perpendicular ao plano (ou seja, ao longo de \hat{\mathbf{x}}).
  • A Lei de Gauss (em forma integral) é a ferramenta natural para explorar essa simetria. Ela diz:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície fechada escolhida e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • Vou aplicar Gauss usando uma superfície cilíndrica/caixote (pílula) com faces planas paralelas à chapa, área A, centrada no plano médio quando conveniente. Assim os lados laterais não contribuem para o fluxo (campo é paralelo à superfície lateral), só as duas faces planas contribuem.

Passo 3

Cálculo do campo dentro da chapa ( |x|\le d/2).
  • Considere um ponto dentro da chapa, com coordenada x tal que 0\le x\le d/2. (Para x<0 o raciocínio é análogo por simetria — o campo muda de sinal.)
  • Construa uma pílula gaussiana com faces planas de área A paralelas à chapa, com uma face em x e a outra em -x. Essa pílula tem espessura 2x e está centrada no plano médio.
  • Fluxo total pela pílula: como \mathbf{E} é perpendicular às faces e tem mesmo módulo nas duas faces (simetria), o fluxo é
\Phi = E(x)\,A + E(-x)\,A = 2E(x)A,
onde escrevo E(x) para o módulo do campo em x e usei E(-x) = -E(x) em termos de sinal; no cálculo do fluxo usamos os sinais corretamente para obter 2E(x)A (mais abaixo fica explícito o sinal).
  • Carga encerrada pela pílula: dentro dela há carga volumétrica \rho_{0} ocupando volume V=(2x)A. Logo
Q_{\text{int}}=\rho_{0}(2x)A.
  • Aplicando Gauss:
2E(x)A = \frac{\rho_{0}(2x)A}{\varepsilon_0}.
Cancelando 2A,
E(x)=\frac{\rho_{0}x}{\varepsilon_0}.
  • Interpretando sinal e direção: para \rho_{0}>0 o campo aponta para fora do centro; em forma vetorial (válida para |x|\le d/2):
\mathbf{E}(x)=\frac{\rho_{0}x}{\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{x}}.
Isto significa que o módulo cresce linearmente com a distância ao plano médio e o sentido é para +x se x>0 e para -x se x<0.

Passo 4

Cálculo do campo fora da chapa ( |x|\ge d/2).
  • Para um ponto fora (por exemplo x\ge d/2), pegue uma pílula gaussiana centrada no plano médio com faces em x e -x, onde agora x\ge d/2. Essa pílula engloba toda a carga da chapa, pois sua espessura 2x é maior que d.
  • Carga total da chapa por unidade de área: a carga por área (densidade superficial equivalente) é
\sigma=\rho_{0} d.
  • A carga encerrada pela pílula de área A é então Q_{\text{int}}=\rho_{0} d\, A.
  • O fluxo total continua sendo a soma dos fluxos nas duas faces externas, cada uma com campo E_{\text{fora}}, logo
2E_{\text{fora}}A=\frac{\rho_{0} d\, A}{\varepsilon_0}.
Cancelando 2A,
E_{\text{fora}}=\frac{\rho_{0} d}{2\varepsilon_0}.
  • Vetorialmente, para x\ge d/2,
\mathbf{E}(x)=\frac{\rho_{0} d}{2\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{x}},
e para x\le -d/2 o campo tem o mesmo módulo mas aponta na direção negativa:
\mathbf{E}(x)=-\frac{\rho_{0} d}{2\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{x}}.
  • Observação (continuidade): avaliando a expressão interna em x=d/2 E(d/2)=\rho_{0}(d/2)/\varepsilon_0=\rho_{0}d/(2\varepsilon_0), que coincide com o valor obtido do lado de fora — o campo é contínuo na superfície para distribuição volumétrica contínua (não há superfície com carga singular).

Passo 5

Resumo físico e casos limites rápidos (ajuda de memória).
  • Dentro ( |x|\le d/2): campo cresce linearmente com x, zero no centro e máximo nas faces.
  • Fora ( |x|\ge d/2): campo é constante, igual ao de duas folhas infinitas com densidade superficial total \sigma=\rho_0 d.
  • Caso limite: se a chapa ficar muito fina ( d\to 0) mantendo \sigma=\rho_0 d fixo, recupera-se o resultado famoso da folha infinita: E_{\text{fora}}=\sigma/(2\varepsilon_0).

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(x)=\begin{cases} \displaystyle \dfrac{\rho_{0}x}{\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{x}}, & \text{se }|x|\le \dfrac{d}{2},\\[8pt] \displaystyle \dfrac{\rho_{0}d}{2\varepsilon_0}\,\mathrm{sgn}(x)\,\hat{\mathbf{x}}, & \text{se }|x|\ge \dfrac{d}{2}, \end{cases}
onde \mathrm{sgn}(x)=+1 para x>0 e \mathrm{sgn}(x)=-1 para x<0.]

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