Mostre que tanto
quanto
são potenciais admissíveis para o campo elétrico do problema (5). Identifique a posição de referência associada a cada um deles.
Passo 1
O enunciado dá duas funções potenciais (funções de
) e pede para mostrar que ambas são potenciais admissíveis para o mesmo campo elétrico do problema (5), além de identificar a posição de referência associada a cada potencial. As informações fornecidas são:
- Duas funções potenciais:
e - Parâmetros constantes
e (considerados dados).
O que se pede: - Mostrar que ambas são admissíveis para o campo elétrico do problema (5) (ou seja, que geram o mesmo campo elétrico).
- Identificar a posição de referência (o(s) ponto(s) onde o potencial escolhido vale zero) associada a cada potencial.
Passo 2
Relembrando a relação entre potencial elétrico e campo elétrico (aula rápida): em uma dimensão (eixo
) o campo elétrico
e o potencial
estão ligados por
Aqui
é a componente do campo ao longo de
,
é o potencial elétrico como função de
, e
é a derivada de
em relação a
. Isso significa: duas funções
e
representam o mesmo campo elétrico exatamente quando sua derivada (menos o sinal) é a mesma, isto é, quando diferem apenas por uma constante aditiva.
Passo 3
Calcular o campo elétrico obtido a partir de
. Primeiro derivamos
:
Aplicando
obtemos
Portanto o campo gerado por
é
Isso já mostra qual é o campo associado a
; é uma função linear de
.
Passo 4
Agora calcular a derivada de
. Como
difere de
por uma constante, sua derivada será igual à de
:
Logo
Portanto
produz exatamente o mesmo campo elétrico que
. Concluímos que ambas as funções são potenciais admissíveis para o mesmo campo elétrico, pois geram o mesmo
.
Passo 5
Explicar a não unicidade do potencial (aula curta e prática): o potencial elétrico é definido à adição de uma constante arbitrária — se
é um potencial, então
(com
constante) é também um potencial admissível porque a derivada que determina o campo permanece inalterada. Aqui:
ou seja,
é
acrescido da constante
. Isso justifica matematicamente por que ambas são admissíveis.
Passo 6
Identificar a posição de referência (ponto onde o potencial é escolhido como zero) para cada potencial:
- Para
: calcular Portanto, o potencial está sendo referenciado para zero em . A posição de referência associada a é . - Para
: procurar tal que . Assim e também . A escolha de constante em corresponde a escolher como referência os pontos (ou ); ambos anulam .