Sobre os vértices de um triângulo equilátero, com comprimento de lado igual a 1,00 cm , foram fixadas 3 cabeças de alfinetes carregadas eletricamente. Na base as cargas têm intensidade de \mathbf{+ 2 , 0 0} \boldsymbol{\mu} \mathbf{C}. No vértice oposto à base a carga é de \mathbf{- 1 , 0 0} \boldsymbol{\mu} \mathbf{C}. Determinar a força eletrostática resultante (módulo e direção) sobre uma das cargas da base.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo equilátero de lado 1{,}00\\ \text{cm} com três cargas pontuais colocadas nos vértices: duas cargas na base com valor \mathbf{+2{,}00\\ \mu C} e a carga no vértice oposto à base com valor \mathbf{-1{,}00\\ \mu C}. A pergunta é: determinar a força eletrostática resultante (módulo e direção) sobre uma das cargas da base.
Informações relevantes (convertidas para o SI):
\text{lado } a = 1{,}00\\ \text{cm} = 0{,}0100\\ \text{m},
q_1 = +2{,}00\\ \mu\text{C} = +2{,}00\times10^{-6}\\ \text{C} \quad(\text{carga alvo}),
q_2 = +2{,}00\\ \mu\text{C} = +2{,}00\times10^{-6}\\ \text{C} \quad(\text{outra da base}),
q_3 = -1{,}00\\ \mu\text{C} = -1{,}00\times10^{-6}\\ \text{C} \quad(\text{vértice oposto}).é
Queremos o vetor força resultante sobre q_1: seu módulo e a direção (ângulo) em relação à horizontal.

Passo 2

Conceitos usados (aula rápida e prática):
  • Lei de Coulomb: a força elétrica entre duas cargas pontuais q_i e q_j, separadas por distância r, tem módulo
F = k\frac{|q_i q_j|}{r^2},
onde k=8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}. Aqui q_i,q_j em coulombs e r em metros.
  • Princípio da superposição: a força total sobre q_1 é a soma vetorial das forças devida a q_2 e a q_3:
\vec{F}_{\text{res}}=\vec{F}_{12}+\vec{F}_{13}.
Vou aplicar essas fórmulas e decompor vetores em componentes x,y.

Passo 3

Escolha de sistema de coordenadas (para ficar simples): coloque a base do triângulo ao longo do eixo x. Coloco q_1 (a carga alvo) em (0,0), q_2 em (a,0) e q_3 no vértice superior em (a/2,h), onde h é a altura do triângulo equilátero. Como o triângulo é equilátero, a altura vale
h=\frac{\sqrt{3}}{2}\,a.
Note que as distâncias dos lados são todas iguais a a, então
r_{12}=a,\qquad r_{13}=a.

Passo 4

Cálculo dos módulos das forças individuais pela Lei de Coulomb. Primeiro convertemos os produtos de cargas:
|q_1 q_2|=(2{,}00\times10^{-6})(2{,}00\times10^{-6})=4{,}00\times10^{-12}\\ \text{C}^2,
|q_1 q_3|=(2{,}00\times10^{-6})(1{,}00\times10^{-6})=2{,}00\times10^{-12}\\ \text{C}^2.
Aplicando Coulomb com r=a=0{,}0100\\ \text{m}:
F_{12}=k\frac{4{,}00\times10^{-12}}{a^{2}},\qquad F_{13}=k\frac{2{,}00\times10^{-12}}{a^{2}}.
Note imediatamente que
F_{12}=2\,F_{13},
porque os produtos de carga diferem por fator 2 e as distâncias são iguais.

Passo 5

Direções das forças (intuição + vetores):
  • q_2 é positiva, igual a q_1, portanto a força \vec{F}_{12} sobre q_1 é repulsiva e aponta para a esquerda (sentido -x). Logo \vec{F}_{12}=(-F_{12},\,0).
  • q_3 é negativa, então atrai q_1. O vetor que liga q_1 a q_3 é (a/2,\;h). Esse vetor faz ângulo \theta com o eixo x dado por
\theta=\arctan\!\left(\frac{h}{a/2}\right)=\arctan(\sqrt{3})=60^\circ.
Portanto \vec{F}_{13} tem direção a 60^\circ acima do eixo +x. Suas componentes são
F_{13,x}=F_{13}\cos60^\circ=\tfrac{1}{2}F_{13},\qquad F_{13,y}=F_{13}\sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}F_{13}.

Passo 6

Soma vetorial das componentes. Em x:
F_x = -F_{12} + F_{13,x} = -F_{12} + \tfrac{1}{2}F_{13}.
Usando F_{12}=2F_{13} obtemos
F_x = -2F_{13} + \tfrac{1}{2}F_{13} = -\tfrac{3}{2}F_{13}.
Em y:
F_y = 0 + F_{13,y} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}F_{13}.

Passo 7

Cálculo do módulo resultante em termos de F_{13}:
F_{\text{res}}=\sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}} =\sqrt{\left(-\tfrac{3}{2}F_{13}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}F_{13}\right)^{2}} =F_{13}\sqrt{\tfrac{9}{4}+\tfrac{3}{4}}=F_{13}\sqrt{3}.
Ângulo \varphi que \vec{F}_{\text{res}} faz com o eixo negativo x (ou com o eixo +x conforme preferir):
\tan\alpha=\frac{|F_y|}{|F_x|}=\frac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}F_{13}}{\tfrac{3}{2}F_{13}}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan30^\circ,
logo o vetor está a 30^\circ acima do sentido negativo do eixo x. Medido a partir do eixo +x no sentido anti-horário, o ângulo é
\varphi=180^\circ-30^\circ=150^\circ.

Passo 8

Agora o cálculo numérico. Primeiro F_{13}:
F_{13}=k\frac{2{,}00\times10^{-12}}{(0{,}0100)^{2}} =8{,}988\times10^{9}\cdot\frac{2{,}00\times10^{-12}}{1{,}00\times10^{-4}} =8{,}988\times10^{9}\cdot2{,}00\times10^{-8}.
F_{13}=8{,}988\times2{,}00\times10^{1}=17{,}976\times10^{1}=179{,}76\\ \mathrm{N}.
Portanto
F_{\text{res}}=F_{13}\sqrt{3}=179{,}76\cdot1{,}73205\approx311{,}35\\ \mathrm{N}.
Arredondando de acordo com os dados (~3 algarismos significativos), podemos usar 311\\ \mathrm{N} ou 3{,}11\times10^{2}\\ \mathrm{N}. A direção, como achamos, é 30^\circ acima da horizontal apontando para a esquerda (equivalente a 150^\circ a partir do eixo +x).

Resposta

F_{\text{res}} \approx 3{,}11\times10^{2}\\ \mathrm{N}
Direção: 30^\circ acima da horizontal, apontando para a esquerda (ou seja, 150^\circ contado a partir do eixo positivo x).

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