Se T: V W é sobrejetiva e dim V=dim W, mostre que T é injetiva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear T: V W que é sobrejetiva (ou seja, toda imagem em W tem pelo menos um elemento em V que a mapeia para ela). Além disso, as dimensões dos espaços V e W são iguais. O conteúdo aqui é de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares, injeção, sobrejeção e a relação entre as dimensões dos espaços. Para resolver, vamos precisar usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser sobrejetiva. Se T é sobrejetiva, isso quer dizer que a imagem de T é todo o espaço W . Em termos de matemática, Im(T) = W .

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema da Dimensão, que nos diz que:
dim(V) = dim(Ker(T)) + dim(Im(T))
Onde:
  • Ker(T) é o núcleo de T (conjunto de vetores em V que são mapeados para o vetor zero em W ),
  • Im(T) é a imagem de T .

Passo 4

Sabemos que T é sobrejetiva, então Im(T) = W . Logo, dim(Im(T)) = dim(W) .
Como dim(V) = dim(W) , podemos substituir na equação do Teorema da Dimensão:
dim(V) = dim(Ker(T)) + dim(W)

Passo 5

Substituindo dim(V) = dim(W) na equação acima:
dim(W) = dim(Ker(T)) + dim(W)
Agora, vamos subtrair dim(W) de ambos os lados:
0 = dim(Ker(T))

Passo 6

Então, dim(Ker(T)) = 0 . O que isso significa? Que o núcleo de T só contém o vetor zero. Em outras palavras, se T(v) = 0 , então v = 0 .

Passo 7

E o que isso tem a ver com ser injetiva? Uma transformação linear é injetiva se diferentes vetores em V mapeiam para diferentes vetores em W . Isso acontece exatamente quando o núcleo de T contém apenas o vetor zero.

Resposta

Portanto, como dim(Ker(T)) = 0 , a transformação T é injetiva.

Exercícios relacionados