Se
é sobrejetiva e
, mostre que
é injetiva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear
que é sobrejetiva (ou seja, toda imagem em
tem pelo menos um elemento em
que a mapeia para ela). Além disso, as dimensões dos espaços
e
são iguais. O conteúdo aqui é de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares, injeção, sobrejeção e a relação entre as dimensões dos espaços. Para resolver, vamos precisar usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser sobrejetiva. Se
é sobrejetiva, isso quer dizer que a imagem de
é todo o espaço
. Em termos de matemática,
.
Passo 3
Agora, vamos usar o Teorema da Dimensão, que nos diz que:
Onde:
-
é o núcleo de (conjunto de vetores em que são mapeados para o vetor zero em ), -
é a imagem de .
Passo 4
Sabemos que
é sobrejetiva, então
. Logo,
.
Como
, podemos substituir na equação do Teorema da Dimensão:
Passo 5
Substituindo
na equação acima:
Agora, vamos subtrair
de ambos os lados:
Passo 6
Então,
. O que isso significa? Que o núcleo de
só contém o vetor zero. Em outras palavras, se
, então
.
Passo 7
E o que isso tem a ver com ser injetiva? Uma transformação linear é injetiva se diferentes vetores em
mapeiam para diferentes vetores em
. Isso acontece exatamente quando o núcleo de
contém apenas o vetor zero.
Resposta
Portanto, como
, a transformação
é injetiva.