A respeito do Sistema de Amortização Constante (SAC), assinale a alternativa correta:
I. Um apartamento foi financiado para ser pago em 20 anos, em prestações mensais, sendo feito o primeiro pagamento no mês seguinte à contratação do empréstimo. O valor financiado é de \mathrm{R} \ 600.000 e a taxa de juros contratada, de0,75 % ao mês, será constante. A amortização poderá ocorrer pelo sistema de amortizações constantes (SAC) ou pelo sistema Price. Tendo como referência essa situação hipotética, no SAC, o valor da centésima prestação será menor queêáçãáçõêçãééçãá\mathrm{R} $5.200$.
II. Considere um financiamento de 100 mil reais amortizado de acordo com o sistema de amortização constante (SAC). Se esse financiamento tiver prazo de 120 meses e

UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAÍBA - CAMPUS VIII CENTRO DE CIÊNCIAS, TECNOLOGIA E SAÚDE DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: ENGENHARIA ECONÔMICA

estiver sujeito à taxa efetiva de juros de 5 \% ao ano, o valor da última prestação será dado por 100.000 / 120 \times(1,05).
III. Um empréstimo de \mathrm{R} \ 180.000 será pago em quatro anos com prestações mensais e sem carência. Sabe-se que a taxa de juros é deáçõêé1 % ao mês e que o regime de amortização é o sistema de amortização constante. Nessa situação, a amortização de cada parcela é deêçãéçãçãçãé\mathrm{R} $3.750 . IV. Sabendo que um consumidor fará um empréstimo no valor de \(\mathrm{R} \\) 120.000,00\(reais a ser pago em 24 prestações iguais e mensais e que essa operação tem taxa de juros de\)2 \%\(ao mês, julgue o item a seguir. Se o cliente optar pelo sistema de amortização constante, então o valor dos juros contidos na 12 .\){ }^{\text {a }}\(parcela do financiamento será de\)\mathrm{R} \$1.300,00.
V. De acordo com o sistema de amortização constante (SAC), se uma empresa pega um empréstimo de \mathrm{R} \ 20.000 , com prazo de 10 anos, taxa de juros de10 % a.a. e pagamento em 20 parcelas semestrais, o valor da6^{\mathrm{a}} parcela será igual aá\mathrm{R} $17.321$.
É correto afirmar que as alternativas certas são:
a. I, III, IV
b. II, IV e V
c. III, IV e V
d. I, II, III e V

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, item por item.
Informações gerais sobre o SAC (dados que aparecem nos itens):
  • Sistema de Amortização Constante (SAC): amortização constante a cada prestação (detalizo a fórmula nos próximos passos).
  • Em cada item há um valor emprestado, número de prestações, e taxa de juros (mensal, semestral ou anual conforme declarado).
Dados dos itens do enunciado:
I. Valor financiado =\mathrm{R}\$\,600.000. Prazo =20 anos com prestações mensais \Rightarrow n=20\times12=240 prestações. Taxa mensal i=0{,}75\% ao mês =0{,}0075. Afirma: "no SAC, o valor da centésima prestação será menor que \mathrm{R}\$\,5.200".
II. Valor financiado =\mathrm{R}\$\,100.000. Prazo =120 meses \Rightarrow n=120. Taxa efetiva =5\% ao ano. Afirma: "o valor da última prestação será dado por \dfrac{100.000}{120}\times(1,05)".
III. Valor emprestado =\mathrm{R}\$\,180.000. Prazo =4 anos com prestações mensais \Rightarrow n=4\times12=48. Taxa =1\% ao mês =0{,}01. Afirma: "a amortização de cada parcela é \mathrm{R}\$\,3.750".
IV. Empréstimo =\mathrm{R}\$\,120.000. Prazo =24 prestações mensais \Rightarrow n=24. Taxa =2\% ao mês =0{,}02. Afirma: "no SAC, os juros contidos na 12. ^{\text{a}} parcela serão \mathrm{R}\$\,1.300".
V. Empréstimo =\mathrm{R}\$\,20.000. Prazo =10 anos, pagamento em 20 parcelas semestrais \Rightarrow n=20. Taxa =10\% a.a. (efetiva). Afirma: "no SAC, o valor da 6. ^{\mathrm{a}} parcela será \mathrm{R}\$\,17.321".
O que o exercício pede: identificar, para cada afirmação I–V, se é verdadeira ou falsa, e assim escolher a alternativa correta entre as opções a d.

Passo 2

Explicação didática do SAC (fórmulas e ideias que vou usar). Mantenho simples e passo a passo.
  • No SAC a amortização A é constante em todas as prestações e vale
A=\dfrac{P}{n},
onde P é o valor principal (montante emprestado) e n é o número total de prestações.
  • O saldo devedor imediatamente antes da k-ésima prestação (ou seja, o que ainda está pendente e sobre o qual se calculam juros para a k-ésima parcela) é
S_{k-1}=P-(k-1)A.
Aqui k=1,2,\dots,n; antes da primeira prestação S_0=P.
  • Os juros cobrados na k-ésima parcela são
J_k = i\cdot S_{k-1},
onde i é a taxa de juros por período correspondente (mensal se prestações mensais, semestral se semestrais etc.).
  • O valor da k-ésima prestação (parcela) é
R_k = A + J_k = A + i\bigl(P-(k-1)A\bigr).
Observação importante sobre taxas: se a taxa for dada em base diferente do período de pagamento (por ex. taxa anual e prestações mensais), é preciso converter a taxa anual efetiva para a taxa por período usando
i_{\text{period}}=(1+i_{\text{anual}})^{1/m}-1,
onde m é o número de períodos por ano (ex.: m=12 para meses, m=2 para semestres). Nunca multiplicar ou dividir a taxa linearmente sem converter pela fórmula de equivalência quando a taxa for efetiva.

Passo 3

Análise do item I, com contas detalhadas.
Dados (peguei do enunciado): P=\mathrm{R}\$\,600.000, n=240, i=0{,}75\%=0{,}0075 por mês. No SAC:
A=\dfrac{P}{n}=\dfrac{600.000}{240}.
Faço a divisão passo a passo: 600.000/240 = 6000/2,4 = 2500. Então
A=\mathrm{R}\$\,2.500.
Para a centésima prestação k=100, o saldo devedor antes dessa prestação é
S_{99}=P-(99)A=600.000-99\cdot2.500.
Calculo 99\cdot2.500=247.500. Portanto
S_{99}=600.000-247.500=352.500.
Os juros da centésima prestação são
J_{100}=i\cdot S_{99}=0{,}0075\times352.500.
Multiplico: 352.500\times0{,}0075 = 352.500\times\frac{75}{10.000} = \frac{26.437.500}{10.000}=2.643{,}75. Logo
J_{100}=\mathrm{R}\$\,2.643{,}75.
O valor da centésima prestação é
R_{100}=A+J_{100}=2.500+2.643{,}75=\mathrm{R}\$\,5.143{,}75.
Comparando com \mathrm{R}\$\,5.200: 5.143{,}75<5.200. Portanto a afirmação I é verdadeira.

Passo 4

Análise do item II, com explicação da armadilha.
Dados (peguei do enunciado): P=\mathrm{R}\$\,100.000, n=120 meses, taxa efetiva 5\% ao ano. No SAC:
A=\dfrac{100.000}{120}.
A última prestação é a k=120. Pour a última prestação, antes dela o saldo é
S_{119}=P-119A=A,
pois só resta uma parcela de amortização. Então os juros da última prestação são J_{120}=i_{\text{mensal}}\cdot A e o valor da última prestação é
R_{120}=A+J_{120}=A\bigl(1+i_{\text{mensal}}\bigr).
O ponto-chave: a taxa dada é anual efetiva 5\%. Com prestações mensais é obrigatório converter para a taxa mensal efetiva:
i_{\text{mensal}}=(1+0{,}05)^{1/12}-1.
Esse i_{\text{mensal}} não é igual a 0{,}05. Portanto a expressão correta para a última prestação é
R_{120}=\dfrac{100.000}{120}\bigl(1+(1{,}05)^{1/12}-1\bigr)=\dfrac{100.000}{120}\,(1{+}i_{\text{mensal}}),
e não \dfrac{100.000}{120}\times(1{,}05) como afirmado no enunciado.
Para ver numericamente a diferença: calcule i_{\text{mensal}} aproximadamente:
i_{\text{mensal}}=(1{,}05)^{1/12}-1\approx 0{,}00407412\\ \text{(aprox. }0{,}4074\%\text{ ao mês)}.ê
Então
R_{120}\approx \dfrac{100.000}{120}\times(1{,}00407412)\approx 833{,}3333\times1{,}00407412\approx\mathrm{R}\$\,836{,}67,
enquanto a expressão do enunciado daria \dfrac{100.000}{120}\times1{,}05\approx833{,}3333\times1{,}05\approx\mathrm{R}\$\,875, que é diferente. Portanto a afirmação II é falsa.

Passo 5

Análise do item III, com cálculo direto.
Dados (peguei do enunciado): P=\mathrm{R}\$\,180.000, prazo =4 anos com prestações mensais \Rightarrow n=4\times12=48. No SAC:
A=\dfrac{P}{n}=\dfrac{180.000}{48}.
Faço a divisão: 180.000/48 = 3.750 (pois 48\times3.750=180.000). Logo
A=\mathrm{R}\$\,3.750.
A afirmação diz exatamente que "a amortização de cada parcela é \mathrm{R}\$\,3.750". Logo a afirmação III é verdadeira.

Passo 6

Análise do item IV, com cálculo detalhado.
Dados (peguei do enunciado): P=\mathrm{R}\$\,120.000, n=24, taxa i=2\%=0{,}02 ao mês. No SAC:
A=\dfrac{120.000}{24}=5.000.
Para a 12. ^{\text{a}} parcela ( k=12), o saldo antes dela é
S_{11}=P-11A=120.000-11\cdot5.000=120.000-55.000=65.000.
Os juros na 12. ^{\text{a}} parcela são
J_{12}=i\cdot S_{11}=0{,}02\times65.000=1.300.
Logo os juros contidos na 12. ^{\text{a}} parcela são \mathrm{R}\$\,1.300, exatamente o que afirma o item. Portanto a afirmação IV é verdadeira.

Passo 7

Análise do item V, com atenção à conversão de taxa e cálculo.
Dados (peguei do enunciado): P=\mathrm{R}\$\,20.000, prazo =10 anos, pagamento em 20 parcelas semestrais \Rightarrow n=20. Taxa efetiva anual =10\%. Para prestações semestrais, a taxa por semestre é
i_{\text{sem}}=(1+0{,}10)^{1/2}-1.
Calculo aproximado: (1{,}10)^{1/2}\approx1{,}048808848\Rightarrow i_{\text{sem}}\approx0{,}048808848 (aprox. 4{,}8809\% por semestre).
No SAC:
A=\dfrac{20.000}{20}=1.000.
Para a 6. ^{\text{a}} parcela ( k=6), o saldo antes dela é
S_5 = P-5A=20.000-5\cdot1.000=15.000.
Os juros da 6. ^{\text{a}} parcela são
J_6 = i_{\text{sem}}\times S_5 \approx 0{,}048808848\times15.000\approx 732{,}13.
Logo o valor da 6. ^{\text{a}} parcela é
R_6=A+J_6\approx 1.000+732{,}13\approx \mathrm{R}\$\,1.732{,}13.
A afirmação do enunciado dá \mathrm{R}\$\,17.321, que é cerca de dez vezes maior; portanto a afirmação V é falsa. (Mesmo se alguém usasse a aproximação ingênua i_{\text{sem}}=0{,}10/2=0{,}05 obteria J_6=15.000\times0{,}05=750 e R_6=1.750, ainda muito diferente de 17.321.)

Passo 8

Conclusão: das afirmações I a V, as verdadeiras são I, III e IV; as falsas são II e V. Portanto a alternativa correta é a letra que indica I, III e IV.

Resposta

a. I, III, IV

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