O Sol emite energia como um corpo negro a temperatura superficial efetiva de 5762 K . Qual a fração da energia total está
(b) na região do visível ( lambda=0,4 a 0,7 mu m );

Passo 1

O enunciado diz que o Sol se comporta como um corpo negro à temperatura efetiva T=5762rm,K e pede a fração da energia total emitida que cai na faixa do visível, ou seja, entre lambda1=0,4rm,mu m e lambda2=0,7rm,mu m. Vamos usar a lei de Planck e a mudança de variável
x=hclambda kT
para escrever essa fração em termos de uma integral padrão de corpo negro.

Passo 2

A potência por unidade de comprimento de onda de um corpo negro é
Blambda(T) propto 1lambda^5,1e^hc/(lambda kT)-1
A fração da energia emitida entre lambda1 e lambda2 é
integrallambda1^lambda2 Blambda(T),dlambda integral0^infty Blambda(T),dlambda
Fazendo x=hclambda kT (logo dlambda=-tfrachckTx^-2,dx) mostra– se que as integrais viram
integralx2^x1 x^3e^x-1,dx integral0^inftyx^3e^x-1,dx,
once
x1=hclambda1 kT, x2=hclambda2 kT,
e sabe– se que
integral0^inftyx^3e^x-1,dx=pi^415

Passo 3

Calculemos x1 e x2:
x1=hclambda1 kT =(6,626times10^-34)(3,00times10^8)0,4times10^-6,(1,381times10^-23),(5762) approx6,24,
x2=hclambda2 kT approx1,9878times10^-250,7times10^-6times7,965times10^-20 approx3,57

Passo 4

Agora precisamos de
I=integralx2^x1x^3e^x-1,dx approxintegral3,57^6,24x^3e^x-1,dx
Usando regra de Simpson (ou trapézios refinados) em pontos intermediários obtém– se numericamente
Iapprox2,38

Passo 5

Finalmente a fração da energia no visível é
Ipi^4/15 =2,38pi^415 approx2,386,4939 approx0,367
ou seja cerca de 36,7% da energia total do Sol fica na faixa de 0,4 0,7,murm m.

Resposta

A fração da energia emitida na região visível é aproximadamente 0,37 ( 37%).

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