Um solenóide com 5.000 espiras, comprimento de 89.23 cm , diâmetro de d=3,55 \mathrm{~cm} é percorrido por uma corrente de 50,57 \mathrm{~mA}. Qual o valor de \mathbf{H} em:
(0,0,80 \mathrm{~cm})

Passo 1

O enunciado descreve um solenóide de N=5000 espiras, comprimento L=89{,}23\\ \mathrm{cm} e diâmetro d=3{,}55\\ \mathrm{cm}, percorrido por uma corrente I=50{,}57\\ \mathrm{mA}. Queremos o vetor \mathbf{H} no ponto (0,0,80\\ \mathrm{cm}), que fica sobre o eixo do solenóide, a z=0{,}80\\ \mathrm{m} contado a partir de uma das extremidades. O conteúdo a usar é o campo axial de um solenóide finito em regime magnetostático.

Passo 2

Para um solenóide finito, o módulo de \mathbf{H} no eixo, a uma distância z da extremidade próxima, vale
H_z \;=\;\frac{n\,I}{2}\,\Biggl[\frac{z}{\sqrt{a^2+z^2}}\;-\;\frac{z-L}{\sqrt{a^2+(z-L)^2}}\Biggr]
onde n=N/L é a densidade de espiras por metro, a=d/2 é o raio interno do solenóide e L o comprimento.

Passo 3

Convertendo para o SI e definindo as grandezas:
L=0{,}8923\\ \mathrm{m}, \quad a=\frac{3{,}55\\ \mathrm{cm}}{2}=0{,}01775\\ \mathrm{m}, \quad I=50{,}57\\ \mathrm{mA}=0{,}05057\\ \mathrm{A}, \quad n=\frac{5000}{0{,}8923}\approx5604{,}8\\ \mathrm{espiras/m}.

Passo 4

Calculemos os dois argumentos do colchete:
z=0{,}80\\ \mathrm{m}, \quad z-L=0{,}80-0{,}8923=-0{,}0923\\ \mathrm{m}.
Então
\frac{z}{\sqrt{a^2+z^2}} =\frac{0{,}80}{\sqrt{(0{,}01775)^2+(0{,}80)^2}} \approx0{,}99975,
\frac{z-L}{\sqrt{a^2+(z-L)^2}} =\frac{-0{,}0923}{\sqrt{(0{,}01775)^2+(-0{,}0923)^2}} \approx-0{,}98222.

Passo 5

Substituindo em
H_z = \frac{n\,I}{2}\,\bigl[0{,}99975 - (-0{,}98222)\bigr]
vem
n\,I = 5604{,}8\times0{,}05057\approx283{,}3\\ \mathrm{A/m},
H_z = \frac{283{,}3}{2}\times1{,}98197\approx281{,}1\\ \mathrm{A/m}.

Resposta

\mathbf{H}(0,0,80\\ \mathrm{cm}) =281{,}1\\ \mathrm{A/m}\;\hat{\mathbf{z}}.

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