Um solenóide de indutância L=50 H e uma resistência R=30 Omega e ligado a uma bateria com varepsilon=100 V. Quanto tempo levara para que a corrente atinja a metade do valor final de equilíbrio? Resp. t=1,2 s

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um solenóide com uma indutância de L = 50,H e uma resistência de R = 30,Omega, conectado a uma bateria de voltagem varepsilon = 100,V. A pergunta é: quanto tempo vai levar para a corrente atingir metade do valor final de equilíbrio? Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos elétricos envolvendo indutância e resistência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar qual é o valor final da corrente de equilíbrio. No estado de equilíbrio, toda a corrente está passando pelo resistor, e a indutância não está mais influenciando (porque a taxa de variação da corrente é zero). A fórmula para a corrente de equilíbrio ( Ieq) em um circuito resistivo é dada por:
Ieq = varepsilonR
Substituindo os valores:
Ieq = 100,V30,Omega approx 3,33,A

Passo 3

Agora, queremos descobrir o tempo que leva para a corrente atingir metade desse valor de equilíbrio, ou seja, I = Ieq2 approx 1,67,A. Para isso, usamos a equação da corrente em um circuito RL (Resistência-Indutância) durante o tempo de carga:
I(t) = Ieq (1 - e^-RL t)
Queremos encontrar t quando I(t) = Ieq2:
Ieq2 = Ieq (1 - e^-RL t)
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por Ieq:
12 = 1 - e^-RL t
Isolando o termo exponencial:
e^-RL t = 1 - 12 = 12
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para t:
-RL t = ln(12)
t = -LR ln(12)
Sabemos que ln(12) = -ln(2), então:
t = LR ln(2)
Substituindo os valores dados:
t = 50,H30,Omega ln(2) approx 5030 times 0,693 approx 1,155,s
Arredondando, temos aproximadamente 1,2,s.

Resposta

O tempo necessário para a corrente atingir metade do valor final de equilíbrio é t approx 1,2,s.

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