Um resistor de R=10.000 Omega e um capacitor estão ligados em série, sendo-lhes subitamente aplicado um potencial de 10 V . Sabendo-se que o potencial através do capacitor sobe 5 Vem 1 mu s, qual a capacitância do capacitor? Resp. C=1 times 10^-10 F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito onde temos um resistor de R = 10.000,Omega e um capacitor ligados em série. De repente, aplicam uma tensão de 10,V nesse circuito. A informação chave é que o potencial no capacitor chega a 5,V em 1,mus. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a capacitância desse capacitor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos RC (resistor-capacitor) e entender como a tensão se comporta ao longo do tempo nesse tipo de circuito.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a tensão no capacitor varia com o tempo em um circuito RC. Quando aplicamos uma tensão de forma rápida (como no nosso caso), o capacitor começa a carregar, e a tensão nele aumenta de forma exponencial. A fórmula que descreve essa variação é:
VC(t) = Vtotal (1 - e^-tRC)
Aqui, VC(t) é a tensão no capacitor no tempo t, Vtotal é a tensão aplicada (10 V no nosso caso), R é a resistência, e C é a capacitância que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos usar os valores que temos para substituir na fórmula. Sabemos que após 1,mus ( 1 times 10^-6,s), a tensão no capacitor é de 5,V. Então, substituindo os valores na equação:
5 = 10 (1 - e^-1 times 10^-610.000 times C)
Vamos simplificar isso para facilitar a resolução.

Passo 4

Primeiro, dividimos ambos os lados por 10:
0,5 = 1 - e^-1 times 10^-610.000 times C
Agora, isolamos o termo exponencial:
e^-1 times 10^-610.000 times C = 1 - 0,5
e^-1 times 10^-610.000 times C = 0,5
Para resolver para C, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
-1 times 10^-610.000 times C = ln(0,5)

Passo 5

Resolvendo para C:
1 times 10^-610.000 times C = -ln(0,5)
Sabemos que ln(0,5) = -0,693, então:
1 times 10^-610.000 times C = 0,693
Agora, isolamos C:
C = 1 times 10^-610.000 times 0,693
C = 1 times 10^-66.930
C approx 1,443 times 10^-10,F
Arredondando para simplificar, temos:
C approx 1 times 10^-10,F

Resposta

C = 1 times 10^-10, F

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