Um resistor de
e um capacitor estão ligados em série, sendo-lhes subitamente aplicado um potencial de 10 V . Sabendo-se que o potencial através do capacitor sobe
, qual a capacitância do capacitor? Resp.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito onde temos um resistor de
e um capacitor ligados em série. De repente, aplicam uma tensão de
nesse circuito. A informação chave é que o potencial no capacitor chega a
em
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a capacitância desse capacitor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos RC (resistor-capacitor) e entender como a tensão se comporta ao longo do tempo nesse tipo de circuito.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a tensão no capacitor varia com o tempo em um circuito RC. Quando aplicamos uma tensão de forma rápida (como no nosso caso), o capacitor começa a carregar, e a tensão nele aumenta de forma exponencial. A fórmula que descreve essa variação é:
Aqui,
é a tensão no capacitor no tempo
,
é a tensão aplicada (10 V no nosso caso),
é a resistência, e
é a capacitância que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos usar os valores que temos para substituir na fórmula. Sabemos que após
(
), a tensão no capacitor é de
. Então, substituindo os valores na equação:
Vamos simplificar isso para facilitar a resolução.
Passo 4
Primeiro, dividimos ambos os lados por 10:
Agora, isolamos o termo exponencial:
Para resolver para
, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 5
Resolvendo para
:
Sabemos que
, então:
Agora, isolamos
:
Arredondando para simplificar, temos: