Quantas vezes maior que a constante de tempo, é o tempo necessário para que a energia acumulada no capacitor seja a metade do seu valor de equilíbrio? (Carga do capacitor num circuito RC com fonte de fem). Resp. t=1,23 R C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pergunta: Quantas vezes maior que a constante de tempo, é o tempo necessário para que a energia acumulada no capacitor seja a metade do seu valor de equilíbrio? Isso está relacionado ao estudo de circuitos elétricos, especificamente em circuitos RC (Resistor e Capacitor) com uma fonte de fem (força eletromotriz). Para resolver, vamos precisar entender como a energia no capacitor varia com o tempo e como essa relação se relaciona com a constante de tempo do circuito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a constante de tempo em um circuito RC é dada por tau = R times C, onde R é a resistência e C é a capacitância. Essa constante de tempo nos indica quão rápido o capacitor carrega ou descarrega.

Passo 3

A energia armazenada no capacitor é dada por U = 12 C V^2, onde V é a tensão no capacitor. Como a tensão no capacitor varia com o tempo durante o carregamento, precisamos expressar V(t) para encontrar como a energia varia.

Passo 4

Durante o carregamento, a tensão no capacitor em função do tempo é V(t) = Vmáx (1 - e^-t/tau)á, onde Vmáxá é a tensão máxima da fonte. Substituindo isso na fórmula da energia:
U(t) = 12 C (Vmáx (1 - e^-t/tau))^2 á

Passo 5

Queremos que a energia seja metade do valor de equilíbrio, ou seja:
12 C Vmáx^2 (1 - e^-t/tau)^2 = 12 times 12 C Vmáx^2 áá
Simplificando:
(1 - e^-t/tau)^2 = 12

Passo 6

Vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
1 - e^-t/tau = 1raiz2
Então:
e^-t/tau = 1 - 1raiz2

Passo 7

Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para t:
-t/tau = ln(1 - 1raiz2)
Multiplicando ambos os lados por - tau:
t = -tau ln(1 - 1raiz2)

Passo 8

Calculando o valor numérico:
1 - 1raiz2 approx 1 - 0.7071 = 0.2929
Então:
t = -tau ln(0.2929) approx tau times 1.23

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente t = 1,23 , R C.

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