Quantas vezes maior que a constante de tempo, é o tempo necessário para que a energia acumulada no capacitor seja a metade do seu valor de equilíbrio? (Carga do capacitor num circuito RC com fonte de fem). Resp.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pergunta: Quantas vezes maior que a constante de tempo, é o tempo necessário para que a energia acumulada no capacitor seja a metade do seu valor de equilíbrio? Isso está relacionado ao estudo de circuitos elétricos, especificamente em circuitos RC (Resistor e Capacitor) com uma fonte de fem (força eletromotriz). Para resolver, vamos precisar entender como a energia no capacitor varia com o tempo e como essa relação se relaciona com a constante de tempo do circuito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a constante de tempo em um circuito RC é dada por
, onde
é a resistência e
é a capacitância. Essa constante de tempo nos indica quão rápido o capacitor carrega ou descarrega.
Passo 3
A energia armazenada no capacitor é dada por
, onde
é a tensão no capacitor. Como a tensão no capacitor varia com o tempo durante o carregamento, precisamos expressar
para encontrar como a energia varia.
Passo 4
Durante o carregamento, a tensão no capacitor em função do tempo é
, onde
é a tensão máxima da fonte. Substituindo isso na fórmula da energia:
Passo 5
Queremos que a energia seja metade do valor de equilíbrio, ou seja:
Simplificando:
Passo 6
Vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
Então:
Passo 7
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Calculando o valor numérico:
Então:
Resposta
O tempo necessário é aproximadamente
.