Um solenóide longo, de comprimento 0,970 m e de raio 10,0 cm possui 345 espiras. Por ele passa uma corrente que varia no tempo na forma I(t)= at, onde a é uma constante que vale 2,74 A/s.
Calcule a intensidade do campo elétrico induzido a uma distância r=8,03 cm do eixo do solenóide, sobre o plano normal ao eixo que corta o solenóide ao meio.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um solenóide longo com comprimento de 0,970 metros e raio de 10,0 centímetros, que tem 345 espiras. A corrente que passa por ele varia no tempo de acordo com a função $ I(t) = a t $, onde $ a = 2,74 , A/s $. Nosso objetivo é calcular a intensidade do campo elétrico induzido a uma distância de 8,03 centímetros do eixo do solenóide, no plano que corta o solenóide ao meio e é perpendicular ao seu eixo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e como campos elétricos e magnéticos se relacionam em situações de campos variáveis no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo magnético dentro de um solenóide longo é dado por:
B(t) = mu0 n I(t)
onde $ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T·m/A $ é a permeabilidade magnética do vácuo, $ n $ é o número de espiras por unidade de comprimento, e $ I(t) $ é a corrente.

Passo 3

Vamos calcular $ n $, o número de espiras por metro. O solenóide tem 345 espiras e comprimento de 0,970 metros:
n

Passo 4

Agora, substituímos $ I(t) = a t $ na equação do campo magnético:
I(t) = a t
Isso mostra que o campo magnético está aumentando linearmente com o tempo.

Passo 5

Para encontrar o campo elétrico induzido, usamos a Lei de Faraday, que relaciona a variação do fluxo magnético com o campo elétrico induzido:
oint E cdot dl = -dPhiBdt
Como a simetria é cilíndrica, o campo elétrico $ E $ é constante em uma circunferência de raio $ r $ e tangente a ela. Então, o lado esquerdo da equação se torna:
E

Passo 6

O fluxo magnético $ \Phi_B $ através de uma área com raio $ r $ é:
PhiB
Derivando em relação ao tempo:
r

Passo 7

Substituímos de volta na Lei de Faraday:
E cdot 2pi r = -mu0 n a pi r^2
Resolvendo para $ E $:
E
O sinal negativo indica a direção do campo elétrico, mas como estamos interessados na intensidade, podemos considerar o módulo.

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores numéricos:
mu0 = 4pi times 10^-7 , T·m/A
n approx 355,67 , espiras/m
a = 2,74 , A/s
r = 8,03 , cm = 0,0803 , m
Substituindo na fórmula:
E = 4pi times 10^-7 times 355,67 times 2,74 times 0,08032

Passo 9

Calculando os valores:
E approx 4pi times 10^-7 times 355,67 times 2,74 times 0,08032 approx 1,21 times 10^-4 , V/m

Resposta

A intensidade do campo elétrico induzido a uma distância de 8,03 cm do eixo do solenóide é aproximadamente $ 1,21 \times 10^{-4} , V/m $.

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