Um solenóide longo, de comprimento
e de raio
possui 345 espiras. Por ele passa uma corrente que varia no tempo na forma
at, onde a é uma constante que vale 2,74 A/s.
Calcule a intensidade do campo elétrico induzido a uma distância
do eixo do solenóide, sobre o plano normal ao eixo que corta o solenóide ao meio.
Calcule a intensidade do campo elétrico induzido a uma distância
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um solenóide longo com comprimento de 0,970 metros e raio de 10,0 centímetros, que tem 345 espiras. A corrente que passa por ele varia no tempo de acordo com a função $ I(t) = a t $, onde $ a = 2,74 , A/s $. Nosso objetivo é calcular a intensidade do campo elétrico induzido a uma distância de 8,03 centímetros do eixo do solenóide, no plano que corta o solenóide ao meio e é perpendicular ao seu eixo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e como campos elétricos e magnéticos se relacionam em situações de campos variáveis no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo magnético dentro de um solenóide longo é dado por:
onde $ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T·m/A $ é a permeabilidade magnética do vácuo, $ n $ é o número de espiras por unidade de comprimento, e $ I(t) $ é a corrente.
Passo 3
Vamos calcular $ n $, o número de espiras por metro. O solenóide tem 345 espiras e comprimento de 0,970 metros:
Passo 4
Agora, substituímos $ I(t) = a t $ na equação do campo magnético:
Isso mostra que o campo magnético está aumentando linearmente com o tempo.
Passo 5
Para encontrar o campo elétrico induzido, usamos a Lei de Faraday, que relaciona a variação do fluxo magnético com o campo elétrico induzido:
Como a simetria é cilíndrica, o campo elétrico $ E $ é constante em uma circunferência de raio $ r $ e tangente a ela. Então, o lado esquerdo da equação se torna:
Passo 6
O fluxo magnético $ \Phi_B $ através de uma área com raio $ r $ é:
Derivando em relação ao tempo:
Passo 7
Substituímos de volta na Lei de Faraday:
Resolvendo para $ E $:
O sinal negativo indica a direção do campo elétrico, mas como estamos interessados na intensidade, podemos considerar o módulo.
Passo 8
Agora, vamos substituir os valores numéricos:
Substituindo na fórmula:
Passo 9
Calculando os valores:
Resposta
A intensidade do campo elétrico induzido a uma distância de 8,03 cm do eixo do solenóide é aproximadamente $ 1,21 \times 10^{-4} , V/m $.