Um solenóide longo, de comprimento
e de raio
possui 293 espiras. Por ele passa uma corrente que varia no tempo na forma
, onde a é uma constante que vale 6,26 A/s.
Calcule a intensidade do campo elétrico induzido a uma distância
do eixo do solenóide, sobre o plano normal ao eixo que corta o solenóide ao meio.
Calcule a intensidade do campo elétrico induzido a uma distância
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um solenóide longo com comprimento de 0,447 metros e raio de 10 cm, com 293 espiras. A corrente que passa por ele varia no tempo como $ I(t) = a t $, onde $ a = 6,26 , A/s $. Nosso objetivo é calcular a intensidade do campo elétrico induzido a uma distância de 4,54 cm do eixo do solenóide, num plano que corta o solenóide ao meio e é perpendicular ao eixo. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e entender como o campo magnético está mudando com o tempo.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar o campo magnético dentro do solenóide. A fórmula para o campo magnético num solenóide longo é:
Onde:
- $ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T·m/A $ é a permeabilidade do vácuo,
- $ n $ é o número de espiras por unidade de comprimento,
- $ I(t) $ é a corrente no solenóide.
Vamos calcular $ n $:
Então, substituindo na fórmula do $ B $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a taxa de variação do fluxo magnético ($ \frac{d\Phi}{dt} $). O fluxo magnético $ \Phi $ é dado por:
Onde $ A $ é a área da superfície pela qual o campo passa. Como estamos olhando para uma distância $ r = 4,54 , cm = 0,0454 , m $, a área $ A $ é:
Então, o fluxo magnético é:
A derivada do fluxo em relação ao tempo é:
Passo 4
Aplicando a Lei de Faraday, que nos diz que a força eletromotriz (EMF) induzida ao redor de um percurso fechado é igual a menos a taxa de variação do fluxo magnético:
Como estamos interessados no campo elétrico $ E $, e sabemos que $ \mathcal{E} = E \cdot 2\pi r $, podemos resolver para $ E $:
Substituindo os valores:
O sinal negativo indica a direção do campo elétrico, mas a intensidade é o valor absoluto.
Resposta
A intensidade do campo elétrico induzido é aproximadamente $ 1,19 \times 10^{-4} , V/m $.