Um solenóide muito longo com raio a contém n espiras por unidade de comprimento e conduz uma corrente i que cresce com uma taxa constante igual a di/dt. a) Calcule o campo magnético e o campo elétrico induzido no interior do solenóide a uma distância r do eixo do solenóide. b) Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor de Poynting S nesse ponto. Mostre que S aponta para dentro do eixo do solenóide. c) Calcule a energia magnética acumulada em uma distância l do solenóide e a taxa de crescimento da energia devida ao aumento da corrente. d) Considere uma superfície cilíndrica com raio a e comprimento l coincidindo com as espiras do solenóide. Integre S sobre a superfície desse cilindro para calcular a taxa com a qual a energia eletromagnética está fluindo para o interior do solenóide através das paredes do solenóide. e) Compare a taxa de variação da energia do campo magnético calculada no item © com o resultado do item (d). Explique por que a energia armazenada em um solenóide que conduz uma corrente pode ser interpretada em termos de uma energia que penetra no solenóide através de suas paredes cilíndricas.

Passo 1

Beleza, o exercício é de eletromagnetismo (Maxwell), e pede para a gente achar:
  • (a) o campo magnético B e o campo elétrico induzido E dentro de um solenóide de raio quando a corrente está aumentando a uma taxa constante;
  • (b) o vetor de Poynting nesse ponto e mostrar que ele aponta para o interior;
  • © a energia magnética armazenada num trecho de comprimento do solenóide e a taxa de crescimento dessa energia;
  • (d) o fluxo de através da parede cilíndrica do solenóide (raio , comprimento );
  • (e) comparar a taxa de variação da energia © com o fluxo de energia (d) e interpretar.
Conteúdo necessário:
  • Lei de Ampère para achar dentro de um solenóide longo;
  • Lei de Faraday (forma integral) para achar o campo elétrico induzido;
  • Definição do vetor de Poynting ;
  • Energia armazenada num indutor e indutância de um solenóide .

Passo 2

  1. Campo magnético B(r no interior de um solenóide longo e com densidade de espiras Ephi,(2pi r) ;=; -ddtl[pi r^2(mu0 n i)r] ;=; -mu0,n,didt,pi r^2 :
    pela lei de Ampère
    Ephi(r
    → dentro do solenóide uniforme çã
  2. Campo elétrico induzido (Faraday integral):
    .
    Escolhemos um círculo de raio : Logo e o sentido de é tal que se opõe ao aumento de (Lenz).

Passo 3

O vetor de Poynting é
S =1mu0,(Ephi,hatphi)times(B,hat z) =Ephi,Bmu0;(hatphitimeshat z) =Ephi,Bmu0;(-hat r),
Dentro do solenóide:
  • Sr =-1mu0l(-mu0n2rdidtr),(mu0 n i) =-,r2,mu0,n^2,i,didt ,
  • .
    Então
porque .
Substituindo e :
O sinal “ ” em indica que aponta para dentro ( ).
Módulo:

Passo 4

Energia magnética armazenada num indutor de indutância U=tfrac12,L,i^2, L=mu0,n^2,(pi a^2,l) :
U =tfrac12,mu0,n^2,pi a^2,l;i^2
Logo
dUdt =mu0,n^2,pi a^2,l;i;didt
A taxa de variação dessa energia é

Passo 5

Fluxo de d A = (hat r),a,dphi,dz pela superfície cilíndrica (raio Scdot d A =Sr,(-hat r)cdot(hat r,a,dphi,dz) =-,Sr,a,dphi,dz , comprimento dWdt =integral dupla Scdot d A =integral0^l!!integral0^2pi l[-l(-tfraca2mu0n^2,i,tfracdidtr)r] a,dphi,dz =mu0,n^2,pi a^2,l;i;didt ):
Como , temos
Em , . Assim

Passo 6

Repare que
dUdt =mu0,n^2,pi a^2,l,i,didt ;=; dWdt
ou seja, a taxa de crescimento da energia magnética (item c) iguala o fluxo de energia que entra pelo campo (item d).
Isso mostra que a energia armazenada no solenóide pode ser vista como energia eletromagnética que “entra” através da sua parede, transportada pelo vetor de Poynting.

Resposta

a)
B(r
b)
S =Ephi,Bmu0(-hat r) =-r2,mu0,n^2,i,didt;hat r, |S|=r2,mu0,n^2,i,didt,
apontando para dentro do eixo.
c)

d)

e) As duas taxas coincidem, mostrando que a energia magnética adquirida pelo solenóide entra pela sua superfície externa em forma de fluxo de Poynting.

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