Um solenóide muito longo com raio
contém
espiras por unidade de comprimento e conduz uma corrente
que cresce com uma taxa constante igual a di/dt. a) Calcule o campo magnético e o campo elétrico induzido no interior do solenóide a uma distância
do eixo do solenóide. b) Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor de Poynting
nesse ponto. Mostre que
aponta para dentro do eixo do solenóide. c) Calcule a energia magnética acumulada em uma distância
do solenóide e a taxa de crescimento da energia devida ao aumento da corrente. d) Considere uma superfície cilíndrica com raio
e comprimento
coincidindo com as espiras do solenóide. Integre
sobre a superfície desse cilindro para calcular a taxa com a qual a energia eletromagnética está fluindo para o interior do solenóide através das paredes do solenóide. e) Compare a taxa de variação da energia do campo magnético calculada no item © com o resultado do item (d). Explique por que a energia armazenada em um solenóide que conduz uma corrente pode ser interpretada em termos de uma energia que penetra no solenóide através de suas paredes cilíndricas.
Passo 1
Beleza, o exercício é de eletromagnetismo (Maxwell), e pede para a gente achar:
- (a) o campo magnético B e o campo elétrico induzido E dentro de um solenóide de raio
quando a corrente está aumentando a uma taxa constante; - (b) o vetor de Poynting
nesse ponto e mostrar que ele aponta para o interior; - © a energia magnética armazenada num trecho de comprimento
do solenóide e a taxa de crescimento dessa energia; - (d) o fluxo de
através da parede cilíndrica do solenóide (raio , comprimento ); - (e) comparar a taxa de variação da energia © com o fluxo de energia (d) e interpretar.
Conteúdo necessário:
- Lei de Ampère para achar
dentro de um solenóide longo; - Lei de Faraday (forma integral) para achar o campo elétrico induzido;
- Definição do vetor de Poynting
; - Energia armazenada num indutor
e indutância de um solenóide .
Passo 2
- Campo magnético
no interior de um solenóide longo e com densidade de espiras :
pela lei de Ampère
→ dentro do solenóide uniforme - Campo elétrico induzido
(Faraday integral):
.
Escolhemos um círculo de raio: Logo e o sentido de é tal que se opõe ao aumento de (Lenz).
Passo 3
O vetor de Poynting é
Dentro do solenóide:
Dentro do solenóide:
-
, -
.
Então
porque
.
Substituindo e
:
Substituindo
O sinal “
” em
indica que
aponta para dentro (
).
Módulo:
Módulo:
Passo 4
Energia magnética armazenada num indutor de indutância
:
Logo
A taxa de variação dessa energia é
Passo 5
Fluxo de
pela superfície cilíndrica (raio
, comprimento
):
Como
, temos
Em
,
. Assim
Passo 6
Repare que
ou seja, a taxa de crescimento da energia magnética (item c) iguala o fluxo de energia que entra pelo campo (item d).
Isso mostra que a energia armazenada no solenóide pode ser vista como energia eletromagnética que “entra” através da sua parede, transportada pelo vetor de Poynting.
Isso mostra que a energia armazenada no solenóide pode ser vista como energia eletromagnética que “entra” através da sua parede, transportada pelo vetor de Poynting.
Resposta
a)
b)
apontando para dentro do eixo.
c)
d)
e) As duas taxas coincidem, mostrando que a energia magnética adquirida pelo solenóide entra pela sua superfície externa em forma de fluxo de Poynting.
c)
d)
e) As duas taxas coincidem, mostrando que a energia magnética adquirida pelo solenóide entra pela sua superfície externa em forma de fluxo de Poynting.