Um solenoide longo de raio a é posicionado no interior de um segundo solenoide longo de raio b(b>a), de forma que seus eixos sejam coincidentes com o eixo z de um sistema de
coordenadas cartesianas. O número de espiras por unidade de comprimento em cada solenoide vale n1 e n2, respectivamente. Suponha que os solenoides podem ser tratados como infinitos e que o enrolamento dos fios é compacto. Quando conveniente, considere um segmento de solenoide de comprimento l nas análises.
d) Suponha agora que o solenoide menor seja deslocado perpendicularmente ao seu eixo por uma distância d(d. Determine a indutância mútua do sistema nessa nova configuração.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois solenoides longos, um dentro do outro, com raios diferentes: o menor tem raio $ a $ e o maior tem raio $ b $ (onde $ b > a $). Cada solenoide tem um número de espiras por unidade de comprimento, $ n_1 $ para o interno e $ n_2 $ para o externo. Os solenoides são tratados como infinitos, o que simplifica nossos cálculos. Agora, o exercício quer que a gente descubra a indutância mútua do sistema quando o solenoide menor é deslocado perpendicularmente ao seu eixo por uma distância $ d $, sendo $ d < b - a $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de indução eletromagnética, especificamente a indutância mútua entre dois solenoides.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é indutância mútua. A indutância mútua $ M $ mede como a corrente em um solenoide (solenoide 1) induz uma força eletromotriz no outro solenoide (solenoide 2). A fórmula geral para a indutância mútua é:
M
onde $ \Phi_{21} $ é o fluxo magnético através do solenoide 2 devido à corrente $ I_1 $ no solenoide 1.

Passo 3

Vamos calcular o fluxo magnético $ \Phi_{21} $. Primeiro, sabemos que o campo magnético dentro de um solenoide infinito é dado por:
Phi21
onde $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo, $ n_1 $ é o número de espiras por unidade de comprimento do solenoide interno, e $ I_1 $ é a corrente passando por ele.

Passo 4

Quando o solenoide interno é deslocado perpendicularmente por uma distância $ d $, o fluxo magnético que atravessa o solenoide externo muda. A área efetiva de sobreposição das duas bobinas é reduzida devido a esse deslocamento. A área de sobreposição $ A $ pode ser calculada considerando a geometria dos círculos deslocados:
d
No entanto, como $ d < b - a $, a área de sobreposição simplifica para:
A
Isso porque o deslocamento não é suficiente para reduzir a área de sobreposição além da área inicial do solenoide menor.

Passo 5

Agora, o fluxo magnético através do solenoide externo é:
Phi21 = B cdot A = mu0 n1 I1 cdot pi a^2
Então, substituindo na fórmula da indutância mútua:
M = Phi21I1 = mu0 n1 pi a^2

Resposta

A indutância mútua do sistema quando o solenoide menor é deslocado perpendicularmente por uma distância $ d < b - a $ é:
d < b - a
onde:
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo,
  • $ n_1 $ e $ n_2 $ são os números de espiras por unidade de comprimento dos solenoides interno e externo, respectivamente,
  • $ a $ é o raio do solenoide interno,
  • $ l $ é o comprimento considerado do solenoide.

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