Um solenoide muito longo, de seção reta circular de raio a, com um total de N espiras e de comprimento h>a, é percorrido por uma corrente elétrica I. Calcule a auto-indutância deste solenoide.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um solenoide bem longo com raio da seção circular de a, N espiras ao todo, comprimento h que é maior que a, e uma corrente elétrica $I passando por ele. Nosso objetivo aqui é calcular a auto-indutância desse solenoide. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos magnéticos em solenoides e a fórmula da auto-indutância.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar que a auto-indutância ( L) de um circuito é uma medida de quanta tensão é induzida quando a corrente que passa por ele muda. No caso de um solenoide, a auto-indutância depende do número de espiras, da área da seção e do comprimento do solenoide.

Passo 3

Para calcular o campo magnético dentro de um solenoide longo, usamos a fórmula:
B = mu0 Nh I
Aqui, B é o campo magnético, mu0 é a permeabilidade do vácuo ( 4pi times 10^-7 , Tcdotm/A), N é o número total de espiras, h é o comprimento do solenoide, e I é a corrente elétrica.

Passo 4

A auto-indutância ( L) está relacionada à energia magnética armazenada no campo magnético. A energia magnética ( U) em um solenoide é dada por:
U = 12 L I^2
Também sabemos que:
U = 12 mu0 N^2h pi a^2 I^2
Aqui, pi a^2 é a área da seção transversal do solenoide.

Passo 5

Igualando as duas expressões para a energia magnética, temos:
12 L I^2 = 12 mu0 N^2h pi a^2 I^2
Podemos simplificar ambos os lados dividindo por 12 I^2:
L = mu0 N^2h pi a^2

Resposta

A auto-indutância do solenoide é:
L = mu0 N^2h pi a^2

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