Um solenoide longo tem um diâmetro de 12,0 \mathrm{~cm}. Quando o solenoide é percorrido por uma corrente i, um campo magnético uniforme de módulo \mathrm{B}=30,0 \mathrm{mT} é produzido no interior do solenoide. Por meio de uma diminuição da corrente i, o campo magnético é reduzido a uma taxa de 6,50 \mathrm{mT} / \mathrm{s}. Determine o módulo do campo elétrico induzido
a 2,20 \mathrm{~cm} de distância do eixo do solenoide.

Passo 1

O enunciado descreve um solenoide longo de diâmetro 12,0\\ \mathrm{cm} em cujo interior o campo magnético é uniforme e vale B=30,0\\ \mathrm{mT}. A corrente varia de modo que B diminui a uma taxa \frac{dB}{dt}=-6,50\\ \mathrm{mT/s}. Pede-se o módulo do campo elétrico induzido a uma distância r=2,20\\ \mathrm{cm} do eixo. O conteúdo principal é a Lei de Faraday para circunferências concêntricas ao solenoide, aplicando-a na região interna ( r menor que o raio do solenoide).

Passo 2

Primeiro, convertemos comprimentos e taxas para o SI:
R = \frac{12,0\\ \mathrm{cm}}{2} = 6{,}00\\ \mathrm{cm} = 0{,}0600\\ \mathrm{m}, \quad r = 2{,}20\\ \mathrm{cm} = 0{,}0220\\ \mathrm{m}, \quad \frac{dB}{dt} = -6{,}50\\ \mathrm{mT/s} = -6{,}50\times10^{-3}\\ \mathrm{T/s}.
Como r=0{,}0220\\ \mathrm{m}<R, usamos a forma interna da Lei de Faraday.

Passo 3

A Lei de Faraday para uma circunferência de raio r diz:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} \;=\;-\,\frac{d\Phi_B}{dt},
onde \Phi_B = B\cdot(\text{área}) = B\,\pi r^2á. Como \mathbf{E} é tangencial e uniforme em módulo, o lado esquerdo vira E\,(2\pi r), e o direito é -\pi r^2\,\frac{dB}{dt}. Tomando módulo,
E\;2\pi r \;=\;\pi r^2\Bigl|\frac{dB}{dt}\Bigr| \quad\Longrightarrow\quad E = \frac{r}{2}\,\Bigl|\frac{dB}{dt}\Bigr|.

Passo 4

Substituindo valores,
E = \frac{0{,}0220\\ \mathrm{m}}{2}\times 6{,}50\times 10^{-3}\\ \mathrm{T/s} = 7{,}15\times 10^{-5}\\ \mathrm{V/m}.

Resposta

O módulo do campo elétrico induzido é 7{,}15\times10^{-5}\\ \mathrm{V/m}.

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