Um solenoide longo tem um diâmetro de 12,0 \mathrm{~cm}. Quando o solenoide é percorrido por uma corrente i, um campo magnético uniforme de módulo \mathrm{B}=30,0 \mathrm{mT} é produzido no interior do solenoide. Por meio de uma diminuição da corrente i, o campo magnético é reduzido a uma taxa de 6,50 \mathrm{mT} / \mathrm{s}. Determine o módulo do campo elétrico induzido
a 8,20 \mathrm{~cm} de distância do eixo do solenoide.

Passo 1

O enunciado descreve um solenoide longo de diâmetro 12{,}0\\ \mathrm{cm} (logo raio a=6{,}0\\ \mathrm{cm}) em que o campo interno é uniforme e vale inicialmente B=30{,}0\\ \mathrm{mT}. A corrente no solenoide é reduzida de modo que \dot B=dB/dt=-6{,}50\\ \mathrm{mT/s}. Pede-se o módulo do campo elétrico induzido a uma distância r=8{,}20\\ \mathrm{cm} do eixo. O conteúdo principal é a Lei de Indução de Faraday e a simetria cilíndrica para escolher um percurso circular de raio r.

Passo 2

A Lei de Indução de Faraday diz que, para um caminho fechado C,
\oint_{C}\vec E\cdot d\vec \ell \;=\;-\,\frac{d\Phi_B}{dt},
onde \Phi_B é o fluxo magnético através da superfície limitada por C. Pela simetria do problema, escolhemos C como um círculo de raio r centrado no eixo do solenoide, de modo que \oint_C\vec E\cdot d\vec \ell =E\,(2\pi r), com E constante ao longo de C.

Passo 3

Como r=8{,}20\\ \mathrm{cm}>a, todo o fluxo vem apenas da região interna do solenoide (onde o campo existe). Logo
\Phi_B = B\;\pi a^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\Phi_B}{dt} = \pi a^2\,\frac{dB}{dt}.

Passo 4

Substituindo em Faraday:
E\,(2\pi r) = -\,\pi a^2\,\frac{dB}{dt} \quad\Longrightarrow\quad E = -\,\frac{\pi a^2}{2\pi r}\,\frac{dB}{dt} = -\,\frac{a^2}{2r}\,\frac{dB}{dt}.
Tomando o módulo e usando a=0{,}0600\\ \mathrm{m}, r=0{,}0820\\ \mathrm{m} e \bigl|dB/dt\bigr|=6{,}50\times10^{-3}\\ \mathrm{T/s},
E = \frac{(0{,}0600)^2}{2\,(0{,}0820)}\,(6{,}50\times10^{-3}) \approx 1{,}43\times10^{-4}\\ \mathrm{V/m}.

Resposta

O módulo do campo elétrico induzido a 8{,}20\\ \mathrm{cm} do eixo é aproximadamente
1{,}43\times10^{-4}\\ \mathrm{V/m}.

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