Um solenoide tem 85,0 \mathrm{~cm} de comprimento, uma seção reta de 17,0 \mathrm{~cm}^{2}, 950 espiras e é percorrido por uma corrente de 6,60 \mathrm{~A}. (a) Calcule a densidade de energia do campo magnético no interior do solenoide. (b) Determine a energia total armazenada no campo magnético, desprezando os efeitos de borda.

Passo 1

O enunciado descreve um solenoide de comprimento L=85{,}0\\ \mathrm{cm}, área da seção reta A=17{,}0\\ \mathrm{cm}^2, N=950 espiras e corrente I=6{,}60\\ \mathrm{A}. Queremos (a) a densidade de energia magnética dentro do solenoide e (b) a energia total armazenada, desprezando efeitos de borda. Para isso vamos usar as fórmulas
B = \mu_{0}\,n\,I, \quad u = \frac{B^2}{2\mu_{0}}, \quad U = u\,V,
onde n = \frac{N}{L} é o número de espiras por metro e V = A\,L o volume do campo.

Passo 2

Calculamos primeiro n e o campo B. Convertendo para o SI:
L = 0{,}85\\ \mathrm{m}, \quad A = 17{,}0\\ \mathrm{cm}^2 = 17{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 1{,}70\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
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n = \frac{N}{L} = \frac{950}{0{,}85\\ \mathrm{m}} \approx 1118\\ \mathrm{espiras/m},
e
B = \mu_{0}\,n\,I = 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A}\;\times1118\;\mathrm{m^{-1}}\;\times6{,}60\\ \mathrm{A} \approx 9{,}27\times10^{-3}\\ \mathrm{T}.

Passo 3

Usamos a expressão da densidade de energia magnética:
u = \frac{B^2}{2\mu_{0}} = \frac{\bigl(9{,}27\times10^{-3}\\ \mathrm{T}\bigr)^2}{2\,(4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A})} \approx 34{,}2\\ \mathrm{J/m^3}.

Passo 4

Agora calculamos o volume ocupado pelo campo e a energia total:
V = A\,L = (1{,}70\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2)\,(0{,}85\\ \mathrm{m}) = 1{,}445\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3},
U = u\,V = (34{,}2\\ \mathrm{J/m^3})\;(1{,}445\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3}) \approx 4,94\times10^{-2}\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) u \approx 34{,}2\\ \mathrm{J/m^3}.
(b) U \approx 4,94\times10^{-2}\\ \mathrm{J}.

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