Considere um sistema clássico de Nosciladores harmônicos unidimensionais, localizados e muito fracamente interagentes, cujo hamiltoniano pode ser escrito na forma
onde
é a massa e
é uma constante elástica. Obtenha uma expressão para o volume do espaço de fase acessível ao sistema quando
, com
. Este modelo clássico para as vibrações elásticas de um sólido produz um calor específico constante com a temperatura (lei de Dulong e Petit). O sólido de Einstein, que é a versão quântica desse modelo, é capaz de produzir um calor específico que diminui com a temperatura, em concordância qualitativa com os dados experimentais.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Hamiltoniano do sistema com
osciladores unidimensionais:
com
e
constantes e
grande (mas tratado só simbolicamente).
- Queremos o volume do espaço de fase acessível quando
com .
O que pedirão na prova (resumindo): dar uma expressão explícita (função de
) para o volume de fase correspondente à casca de energia entre
e
.
Passo 2
Ideia geométrica (apenas para entender o que vamos calcular):
- A fase tem
coordenadas . - Como
é soma de termos quadráticos em e , a desigualdade define um elipsoide em . - Podemos transformar esse elipsoide em uma bola
-dimensional por uma mudança de escala nas variáveis; então usamos a fórmula do volume de uma bola em dimensão .
Na prova é bom lembrar: não precisa calcular integrais complicadas, basta reduzir a uma esfera e usar o fator jacobiano.
Passo 3
Mudança de variáveis para esferizar o elipsoide. Defino, para cada
,
Calculo
em termos dessas variáveis:
Logo a condição
é equivalente a
ou seja, um disco (bola) uniforme de raio
no espaço
de dimensão
.
Passo 4
Jacobiano da mudança de variáveis. Para cada
:
então o elemento de volume no espaço original e no espaço escalado relaciona-se por
Portanto, o volume de fase do conjunto
é
Passo 5
Fórmula do volume de uma bola em dimensão
:
Para
isto dá, usando
,
Substituindo
e o jacobiano, obtemos o volume acumulado até energia
:
Podemos escrever de forma mais compacta:
Passo 6
Agora queremos o volume da casca de energias entre
e
. Para
usamos a aproximação linear:
Calculando a derivada:
Simplificando
, obtemos a expressão final para a casca:
Passo 7
Comentário físico rápido (motivação para a prova): a densidade de microestados cresce como
, e a energia média por oscilador no regime clássico segue da teoria da equipartição:
- Cada termo quadrático (cada
e cada ) dá em média . - Cada oscilador tem duas contribuições quadráticas, portanto
. - Então
e o calor específico à volume constante é
que é a lei de Dulong–Petit (capacidade térmica constante por átomo). O modelo quântico (Einstein) corrige esse resultado em baixas temperaturas.