Considere um sistema clássico de Nosciladores harmônicos unidimensionais, localizados e muito fracamente interagentes, cujo hamiltoniano pode ser escrito na forma
\mathcal{H}=\sum_{j=1}^{N}\left(\frac{1}{2 m} p_{j}^{2}+\frac{1}{2} k x_{j}^{2}\right),
onde m é a massa e k é uma constante elástica. Obtenha uma expressão para o volume do espaço de fase acessível ao sistema quando E \leqslant \mathcal{H} \leqslant E+\delta E, com \delta E \ll E. Este modelo clássico para as vibrações elásticas de um sólido produz um calor específico constante com a temperatura (lei de Dulong e Petit). O sólido de Einstein, que é a versão quântica desse modelo, é capaz de produzir um calor específico que diminui com a temperatura, em concordância qualitativa com os dados experimentais.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Hamiltoniano do sistema com N osciladores unidimensionais:
\mathcal{H}=\sum_{j=1}^{N}\left(\frac{1}{2 m} p_{j}^{2}+\frac{1}{2} k x_{j}^{2}\right),
com m e k constantes e N grande (mas tratado só simbolicamente).
  • Queremos o volume do espaço de fase acessível quando \,E\leqslant\mathcal{H}\leqslant E+\delta E\,, com \delta E\ll E.
O que pedirão na prova (resumindo): dar uma expressão explícita (função de E,\delta E,N,m,k) para o volume de fase correspondente à casca de energia entre E e E+\delta E.

Passo 2

Ideia geométrica (apenas para entender o que vamos calcular):
  • A fase tem 2N coordenadas (x_1,\dots,x_N,p_1,\dots,p_N).
  • Como \mathcal{H} é soma de termos quadráticos em x_j e p_j, a desigualdade \mathcal{H}\leqslant E define um elipsoide em \mathbb{R}^{2N}.
  • Podemos transformar esse elipsoide em uma bola 2N-dimensional por uma mudança de escala nas variáveis; então usamos a fórmula do volume de uma bola em dimensão 2N.
    Na prova é bom lembrar: não precisa calcular integrais complicadas, basta reduzir a uma esfera e usar o fator jacobiano.

Passo 3

Mudança de variáveis para esferizar o elipsoide. Defino, para cada j,
u_j=\frac{p_j}{\sqrt{m}},\qquad v_j=\sqrt{k}\,x_j.
Calculo 2\mathcal{H} em termos dessas variáveis:
2\mathcal{H}=\sum_{j=1}^N\left(\frac{p_j^2}{m}+k x_j^2\right)=\sum_{j=1}^N\left(u_j^{2}+v_j^{2}\right).
Logo a condição \mathcal{H}\leqslant E é equivalente a
\sum_{j=1}^N\left(u_j^{2}+v_j^{2}\right)\leqslant 2E,
ou seja, um disco (bola) uniforme de raio
R=\sqrt{2E}
no espaço (u_1,\dots,u_N,v_1,\dots,v_N) de dimensão 2N.

Passo 4

Jacobiano da mudança de variáveis. Para cada j:
dx_j=\frac{dv_j}{\sqrt{k}},\qquad dp_j=\sqrt{m}\,du_j,
então o elemento de volume no espaço original e no espaço escalado relaciona-se por
d^{N}x\,d^{N}p=\prod_{j=1}^N dx_j\,dp_j=\prod_{j=1}^N\left(\frac{dv_j}{\sqrt{k}}\cdot\sqrt{m}\,du_j\right)=(m/k)^{N/2} \,d^{N}u\,d^{N}v.
Portanto, o volume de fase do conjunto \{\mathcal{H}\leqslant E\} é
\Gamma(E)=(m/k)^{N/2}\times\text{(volume da bola de raio }R=\sqrt{2E}\text{ em dimensão }2N).ã

Passo 5

Fórmula do volume de uma bola em dimensão n:
\text{Vol}_n(R)=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\!\left(\frac{n}{2}+1\right)}\,R^{n}.
Para n=2N isto dá, usando \Gamma(N+1)=N!,
\text{Vol}_{2N}(R)=\frac{\pi^{N}}{N!}\,R^{2N}.
Substituindo R=\sqrt{2E} e o jacobiano, obtemos o volume acumulado até energia E:
\Gamma(E)=(m/k)^{N/2}\cdot\frac{\pi^{N}}{N!}\,(\,2E\,)^{N}.
Podemos escrever de forma mais compacta:
\Gamma(E)=\frac{(2\pi)^{N}}{N!}\left(\frac{m}{k}\right)^{N/2}E^{N}.

Passo 6

Agora queremos o volume da casca de energias entre E e E+\delta E. Para \delta E\ll E usamos a aproximação linear:
\text{Vol}_{\text{casca}}(E,\delta E)\simeq\frac{d\Gamma}{dE}\,\delta E.
Calculando a derivada:
\frac{d\Gamma}{dE}= \frac{(2\pi)^{N}}{N!}\left(\frac{m}{k}\right)^{N/2}\cdot N E^{\,N-1}.
Simplificando N/N!=1/(N-1)!, obtemos a expressão final para a casca:
\text{Vol}_{\text{casca}}(E,\delta E)=\frac{(2\pi)^{N}}{(N-1)!}\left(\frac{m}{k}\right)^{N/2} E^{\,N-1}\,\delta E.

Passo 7

Comentário físico rápido (motivação para a prova): a densidade de microestados cresce como E^{N-1}, e a energia média por oscilador no regime clássico segue da teoria da equipartição:
  • Cada termo quadrático (cada p_j^2/(2m) e cada k x_j^2/2) dá em média \tfrac{1}{2}k_B T.
  • Cada oscilador tem duas contribuições quadráticas, portanto \langle \varepsilon_{\text{oscilador}}\rangle=k_B T.
  • Então E=\langle\mathcal{H}\rangle = N k_B T e o calor específico à volume constante é
C_V=\frac{dE}{dT}=N k_B,
que é a lei de Dulong–Petit (capacidade térmica constante por átomo). O modelo quântico (Einstein) corrige esse resultado em baixas temperaturas.

Resposta

\Gamma(E)=\dfrac{(2\pi)^{N}}{N!}\left(\dfrac{m}{k}\right)^{N/2}E^{N}
\text{Vol}_{\text{casca}}(E,\delta E)=\dfrac{(2\pi)^{N}}{(N-1)!}\left(\dfrac{m}{k}\right)^{N/2}E^{\,N-1}\,\delta E

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