É solicitado a um jovem engenheiro o projeto de uma barreira para proteção térmica de um dispositivo eletrônico sensível, que pode vir a ser exposto à irradiação de um laser de alta potência. Tendo aprendido na época de estudante que um material com baixa condutividade térmica fornece boas características de isolamento, o engenheiro especifica para a barreira de proteção o uso de um aerogel nano estruturado, caracterizado por uma condutividade térmica baixa. O chefe do engenheiro questiona a razão da escolha do aerogel em função dele ter uma baixa condutividade térmica. Considere a súbita irradiação com o laser que fornece uma irradiação de \mathrm{G}=9254618,4 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. As absortividades dos materiais são \alpha=0,2 ; 0,9 e 0,8 para o alumínio, o vidro e o aerogel, respectivamente, e a temperatura inicial da barreira é de \mathrm{Ti}=300 \mathrm{~K}.
Propriedades: da tabela A1, alumínio puro ( \mathbf{3 0 0 ~ k} ), \mathbf{k A I} \boldsymbol{=} \mathbf{2 3 5 , 1} W/m.K, da tabela A3, vidro ( \mathbf{3 0 0 ~ K} ), kvidro =\mathbf{1 , 5 ~ W} / \mathbf{m} . \mathbf{K}, kaerossol =0,005 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) dado pelo problema
Supondo que não há geração interna de calor, desenvolva uma expressão para a condutividade térmica k(x) para as seguintes condições: A(x)=(1+x), T(x)=600\left(1-2 x-x^{2}\right), e taxa de 10583,1 W, em que " A " está em metros quadrados, " T " em kelvins e " x " em metros.
Pede-se:
a) O gradiente de temperatura para o vidro, em graus kelvin?

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de temperatura para o vidro, sabendo que
T(x)=600\bigl(1-2x - x^2\bigr)\,,
onde x está em metros e T em kelvins. O gradiente de temperatura é dado por \dfrac{dT}{dx}.

Passo 2

Para obter \dfrac{dT}{dx}, derivamos T(x) em relação a x:
\frac{dT}{dx} =\frac{d}{dx}\bigl[600(1-2x - x^2)\bigr] =600\bigl(-2 -2x\bigr) =-1200\,(1+x).

Resposta

\frac{dT}{dx} = -1200\,(1+x)\quad\text{K/m}.

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