É solicitado que você projete um modulador SSB para a transmissão da banda lateral inferior de um sinal m(t), com largura de banda B. Para isso, determine:
(a) ( 1,0 pontos) o diagrama de blocos de um possível modulador. Encontre todas as equações, no domínio do tempo, em cada parte do seu sistema.
(b) ( 1,0 pontos) encontre os espectros de frequência em cada parte do seu sistema.
(c) ( 1,0 pontos) projete um demodulador (diagrama de blocos e equações no domínio do tempo) para recuperar o sinal $m(t).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede (a) o diagrama de blocos de um modulador SSB que gere a banda lateral inferior (LSB) de um sinal mensagem m(t) de largura de banda B; (b) os espectros de frequência em cada parte do sistema do modulador; (c) projetar um demodulador (diagrama de blocos e equações no domínio do tempo) que recupere m(t).
  • Informações fornecidas (assumidas como verdadeiras e necessárias):
    • m(t) é um sinal real e é limitado em largura de banda: a sua transformada de Fourier M(\omega) satisfaz M(\omega)=0 para |\omega|>\Omega_m, onde definimos \Omega_m = 2\pi B.
    • Desejamos transmissão em banda passante centrada na portadora \omega_c (assumimos \omega_c>\Omega_m).
  • Símbolos usados (definições):
    • \mathcal{F}\{x(t)\}=X(\omega) é a transformada de Fourier.
    • \mathcal{H}\{m(t)\}=\hat m(t) é a transformada de Hilbert de m(t) (ver definição no passo seguinte).
  • Não se inicia a resolução aqui; apenas ficou explícito o que será produzido nos próximos passos.

Passo 2

Escolha do método e diagrama de blocos do modulador (tempo‑domínio) com todas as equações em cada parte.
Escolhi o método por fase (phasing method) usando a transformada de Hilbert porque:
  • Ele permite obter SSB com multiplicadores e uma operação de Hilbert (fácil de descrever e de analisar).
  • Evita depender de filtros analógicos extremamente seletivos para separar as bandas numéricas, sendo um método padrão em provas e projetos.
Descrição do diagrama de blocos (texto claro, cada bloco é uma operação):
  • Entrada: [m(t)).
  • Bloco 1: Hilbert — gera \hat m(t)=\mathcal{H}\{m(t)\}.
  • Bloco 2: dois multiplicadores:
    • x_1(t)=m(t)\cos(\omega_c t).
    • x_2(t)=\hat m(t)\sin(\omega_c t).
  • Bloco 3: somador (adição) que forma a saída:
    • \displaystyle s(t)=x_1(t)+x_2(t)=m(t)\cos(\omega_c t)+\hat m(t)\sin(\omega_c t).
Equações e explicações didáticas de cada parte:
  1. Hilbert transformada (o que é e por que usamos)
  • Definição no domínio da frequência: \hat M(\omega)=\mathcal{F}\{\hat m(t)\}=-j\,\operatorname{sgn}(\omega)\,M(\omega),onde \operatorname{sgn}(\omega)=\begin{cases}+1,&\omega>0,\\\ 0,&\omega=0,\\\ -1,&\omega<0.\end{cases}\] - Interpretação simples: a transformada de Hilbert desloca a fase das componentes positivas em \(-\pi/2 e das negativas em +\pi/2, sem alterar a magnitude do espectro. Para sinais reais e bandlimited, isso produz um “quadrature” de m(t).
  1. Modulação por \cos e \sin
  • Propriedade de modulação (tempo → frequência): multiplicar por \cos(\omega_c t) desloca o espectro para \pm\omega_c: \mathcal{F}\{m(t)\cos(\omega_c t)\}=\tfrac{1}{2}\bigl[M(\omega-\omega_c)+M(\omega+\omega_c)\bigr].
  • Para \sin(\omega_c t)=(1/2j)(e^{j\omega_c t}-e^{-j\omega_c t}): \mathcal{F}\{\hat m(t)\sin(\omega_c t)\}=\tfrac{1}{2j}\bigl[\hat M(\omega-\omega_c)-\hat M(\omega+\omega_c)\bigr].
  1. Saída do modulador (tempo)
  • Somando os ramos: \boxed{\displaystyle s(t)=m(t)\cos(\omega_c t)+\hat m(t)\sin(\omega_c t).}
  • Comentário intuitivo: a combinação correta de m(t) e sua quadratura \hat m(t), moduladas em quadratura com o portador, cancela a banda lateral indesejada e mantém apenas a banda lateral inferior (LSB) do par de bandas deslocadas.

Passo 3

Cálculo dos espectros de frequência em cada parte do modulador (passo a passo).
  1. Espectro de entrada (conhecido):
  • [M(\omega)), com suporte |\omega|\le\Omega_m.
  1. Espectro após o Hilbert:
  • Usando a definição: \boxed{\displaystyle \hat M(\omega)=-j\,\operatorname{sgn}(\omega)\,M(\omega).}(a magnitude é igual a |M(\omega)|, mas a fase é alterada).
  1. Espectro do ramo x_1(t)=m(t)\cos(\omega_c t):
  • Pela propriedade de modulação: X_1(\omega)=\tfrac{1}{2}\bigl[M(\omega-\omega_c)+M(\omega+\omega_c)\bigr].
  1. Espectro do ramo x_2(t)=\hat m(t)\sin(\omega_c t):
  • Usando a forma em exponenciais e \hat M: X_2(\omega)=\tfrac{1}{2j}\bigl[\hat M(\omega-\omega_c)-\hat M(\omega+\omega_c)\bigr].
  1. Espectro total S(\omega)=X_1(\omega)+X_2(\omega). Substituindo \hat M(\cdot)=-j\,\operatorname{sgn}(\cdot)M(\cdot):
  • Primeiro escrever: S(\omega)=\tfrac{1}{2}\bigl[M(\omega-\omega_c)+M(\omega+\omega_c)\bigr] +\tfrac{1}{2j}\bigl[\hat M(\omega-\omega_c)-\hat M(\omega+\omega_c)\bigr].
  • Substituindo \hat M: \begin{aligned} S(\omega) &=\tfrac{1}{2}M(\omega-\omega_c)+\tfrac{1}{2}M(\omega+\omega_c) +\tfrac{1}{2j}\bigl[-j\operatorname{sgn}(\omega-\omega_c)M(\omega-\omega_c)\\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\;-(-j)\operatorname{sgn}(\omega+\omega_c)M(\omega+\omega_c)\bigr] \end{aligned}que simplifica (pois \tfrac{1}{2j}(-j)= -\tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{2j}(+j)=\tfrac{1}{2}): \boxed{\displaystyle S(\omega)=\tfrac{1}{2}\bigl[1-\operatorname{sgn}(\omega-\omega_c)\bigr]M(\omega-\omega_c) +\tfrac{1}{2}\bigl[1+\operatorname{sgn}(\omega+\omega_c)\bigr]M(\omega+\omega_c).}
  1. Interpretação por intervalos (mostra que é LSB):
  • Considere o suporte de M(\omega-\omega_c): não nulo para \omega\in[\omega_c-\Omega_m,\omega_c+\Omega_m]. Dentro desse intervalo:
    • Para \omega\in(\omega_c-\Omega_m,\omega_c): \omega-\omega_c<0\Rightarrow\operatorname{sgn}(\omega-\omega_c)=-1. Então o fator \tfrac{1}{2}[1-(-1)]=1, logo S(\omega)=M(\omega-\omega_c) nesta região — isto é, a parte inferior do par lateral em torno de +\omega_c permanece.
    • Para \omega\in(\omega_c,\omega_c+\Omega_m): \omega-\omega_c>0\Rightarrow\operatorname{sgn}=+1. Então o fator \tfrac{1}{2}[1-1]=0, isto é, a parte superior (upper) do par lateral em torno de +\omega_c é cancelada.
  • Análogo para o par em torno de -\omega_c: verifica-se que apenas a faixa correspondente à LSB (espelho negativo) permanece.
  • Portanto S(\omega) contém somente as bandas laterais inferiores deslocadas (LSB) — logo o sinal no tempo s(t) é a SSB inferior procurada.
Resumo do espectro final (descrição compacta):
  • Em palavras matemáticas: S(\omega)= \begin{cases} M(\omega-\omega_c), & \omega\in(\omega_c-\Omega_m,\omega_c)\\[4pt] M(\omega+\omega_c), & \omega\in(-\omega_c,-\omega_c+\Omega_m)\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á(essa forma mostra explicitamente que apenas as bandas inferiores em torno de (\pm\omega_c] permanecem).]

Passo 4

Projeto do demodulador (diagrama de blocos e equações no tempo) para recuperar m(t).
Escolha simples e padrão (coherent demodulation com filtragem):
  • Diagrama de blocos em palavras:
    • Entrada: s(t).
    • Bloco A: multiplicador por 2\cos(\omega_c t).
    • Bloco B: filtro passa‑baixas ideal com largura de banda de corte \Omega_m (ganho unitário na banda).
    • Saída: estimativa \tilde m(t).
Equações e demonstração de recuperação:
  1. Multiplicação por 2\cos(\omega_c t):
r(t)=2s(t)\cos(\omega_c t)=2\bigl[m(t)\cos(\omega_c t)+\hat m(t)\sin(\omega_c t)\bigr]\cos(\omega_c t).
Usando identidades trigonométricas:
\begin{aligned} r(t)&=m(t)\bigl(1+\cos(2\omega_c t)\bigr)+\hat m(t)\sin(2\omega_c t)\\\ &=m(t)+\underbrace{m(t)\cos(2\omega_c t)+\hat m(t)\sin(2\omega_c t)}_{\text{componentes em torno de }2\omega_c}. \end{aligned}
  1. Filtragem passa‑baixas (remoção dos termos em torno de 2\omega_c):
  • Um LPF ideal com cutoff \Omega_m elimina as componentes em torno de 2\omega_c (assumindo \omega_c\gg\Omega_m), ficando apenas: \boxed{\displaystyle \tilde m(t)=\text{LPF}\{r(t)\}=m(t).}
  • Portanto o demodulador recupera m(t) perfeitamente (suposição: perfeita coerência de fase e portadora sincronizada).
Comentário importante sobre sincronismo de fase (prático e essencial em prova):
  • Se a portadora local no receptor tiver um erro de fase \varphi, ou seja usamos \cos(\omega_c t+\varphi) em vez de \cos(\omega_c t), então após multiplicação e LPF obtemos \tilde m(t)=m(t)\cos\varphi+\hat m(t)\sin\varphi,o que não é simplesmente m(t) a menos que \varphi=0. Assim é crucial sincronizar fase (por exemplo via PLL) ou usar um receptor em quadratura que compense \varphi. Para provas, basta mencionar que o esquema acima é para detecção coerente (fase alinhada).

Passo 5

Pequenas observações práticas e dicas para prova (rápidas e motivadoras)
  • Em provas, se pedirem diagrama, desenhe três blocos: Hilbert, multiplicadores com \cos e \sin, somador — escreva as equações temporais ao lado.
  • Para os espectros, apresente a expressão geral de S(\omega) e em seguida a forma por intervalos (mostrando que a USB foi cancelada).
  • No demodulador, enfatize a necessidade de coerência de fase; mostre a multiplicação por 2\cos(\omega_c t) e a LPF que recupera m(t).
  • Força! Se sentir perdido durante a prova, escreva primeiro as fórmulas de modulação e da Hilbert (são o esqueleto do resto).

Resposta

(a) Diagrama de blocos (phasing method): m(t)\to\mathcal{H}\{\cdot\}\to\hat m(t)\) ; multiplicadores: \(x_1(t)=m(t)\cos(\omega_c t)\), \(x_2(t)=\hat m(t)\sin(\omega_c t)\) ; somador: \(\displaystyle s(t)=m(t)\cos(\omega_c t)+\hat m(t)\sin(\omega_c t).\) (b) Espectros: entrada \(\;M(\omega)\) com suporte \(|\omega|\le\Omega_m\). Após Hilbert \(\;\hat M(\omega)=-j\,\operatorname{sgn}(\omega)M(\omega)\). Ramo \(\cos\): \(X_1(\omega)=\tfrac{1}{2}[M(\omega-\omega_c)+M(\omega+\omega_c)]\). Ramo \(\sin\): \(X_2(\omega)=\tfrac{1}{2j}[\hat M(\omega-\omega_c)-\hat M(\omega+\omega_c)]\). Soma: \[\displaystyle S(\omega)=\tfrac{1}{2}\bigl[1-\operatorname{sgn}(\omega-\omega_c)\bigr]M(\omega-\omega_c) +\tfrac{1}{2}\bigl[1+\operatorname{sgn}(\omega+\omega_c)\bigr]M(\omega+\omega_c),
ou seja
S(\omega)=\begin{cases} M(\omega-\omega_c), & \omega\in(\omega_c-\Omega_m,\omega_c),\\[2pt] M(\omega+\omega_c), & \omega\in(-\omega_c,-\omega_c+\Omega_m),\\[2pt] 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
(o que mostra que apenas a banda lateral inferior foi preservada).
(c) Demodulador coerente simples: multiplicar s(t)\] por \(2\cos(\omega_c t) e passar por LPF de cutoff \Omega_m. Equações:
r(t)=2s(t)\cos(\omega_c t)=m(t)\bigl(1+\cos(2\omega_c t)\bigr)+\hat m(t)\sin(2\omega_c t),
LPF remove termos em 2\omega_c e obtém \tilde m(t)=m(t). (Observação: é necessário alinhamento de fase da portadora; erro de fase \varphi leva a \tilde m(t)=m(t)\cos\varphi+\hat m(t)\sin\varphi.)]

Exercícios relacionados