Calcule a seguinte integral iterada:
\int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{x} \int_{x}^{2 x} y z \cos \left(x^{5}\right) d z d y d x \quad\left(\mathrm{H}=\frac{3}{20} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)^{5} \quad \mathrm{~m}^{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{x}\int_{x}^{2x}y\,z\cos\bigl(x^{5}\bigr)\,dz\,dy\,dx.
O conteúdo é integração iterada em ordem dz\,dy\,dx e depois uso de substituição para integrar a parte que envolve \cos(x^{5}).

Passo 2

Para cada x fixo, trate \cos\bigl(x^{5}\bigr) como constante e calcule
A(x)=\int_{0}^{x}\int_{x}^{2x}y\,z\,dz\,dy.
Primeiro a integral em z:
\int_{x}^{2x}y\,z\,dz =y\int_{x}^{2x}z\,dz =y\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{z=x}^{2x} =y\frac{(4x^{2}-x^{2})}{2} =\frac{3x^{2}}{2}\,y.

Passo 3

Agora integre em y:
A(x) =\int_{0}^{x}\frac{3x^{2}}{2}\,y\,dy =\frac{3x^{2}}{2}\int_{0}^{x}y\,dy =\frac{3x^{2}}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} =\frac{3x^{4}}{4}.

Passo 4

Substituindo de volta, a integral original vira
\int_{0}^{\pi/2}\cos\bigl(x^{5}\bigr)\,A(x)\,dx =\int_{0}^{\pi/2}\cos\bigl(x^{5}\bigr)\,\frac{3x^{4}}{4}\,dx =\frac{3}{4}\int_{0}^{\pi/2}x^{4}\cos\bigl(x^{5}\bigr)\,dx.

Passo 5

Use a substituição u=x^{5}, então du=5x^{4}dx e x^{4}dx=\tfrac{du}{5}.
Quando x=0, u=0; quando x=\pi/2, u=(\pi/2)^{5}. A integral torna-se
\frac{3}{4}\int_{0}^{\pi/2}x^{4}\cos\bigl(x^{5}\bigr)\,dx =\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{5}\int_{0}^{(\pi/2)^{5}}\cos(u)\,du =\frac{3}{20}\int_{0}^{(\pi/2)^{5}}\cos(u)\,du.

Passo 6

Integre \cos(u):
\int_{0}^{(\pi/2)^{5}}\cos(u)\,du =\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{(\pi/2)^{5}} =\sin\bigl((\tfrac{\pi}{2})^{5}\bigr)-\sin(0) =\sin\bigl((\tfrac{\pi}{2})^{5}\bigr).
Logo a integral vale
\frac{3}{20}\,\sin\bigl((\tfrac{\pi}{2})^{5}\bigr).

Resposta

\frac{3}{20}\,\sin\bigl((\tfrac{\pi}{2})^{5}\bigr)\;\mathrm{m}^{4}.

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