Um sólido monoatômico tem uma capacidade calorífica de \mathrm{C}_{\mathrm{p}, \mathrm{m}}=3,1 \mathrm{R}. Calcule o aumento de entropia de um mol deste sólido no caso da temperatura ser aumentada de 300 K a 500 K , a pressão constante.

Passo 1

O enunciado pede o aumento de entropia de um mol de um sólido monoatômico quando a temperatura aumenta de 300\\ \mathrm{K} para 500\\ \mathrm{K} à pressão constante. As informações fornecidas são:
  • capacidade calorífica molar a pressão constante: \mathrm{C}_{\mathrm{p},\mathrm{m}} = 3,1\,R;
  • quantidade de substância: 1 mol;
  • temperatura inicial: T_1 = 300\\ \mathrm{K};
  • temperatura final: T_2 = 500\\ \mathrm{K};
  • processo à pressão constante.
O que se pede: calcular \Delta S, o aumento de entropia do mol durante esse aquecimento.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar. Em termodinâmica, a variação de entropia para um processo reversível é
\mathrm{d}S=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
Para um aquecimento à pressão constante, a quantidade de calor reversível fornecida é \delta Q_{\text{rev}} = C_{p}\,\mathrm{d}T. Aqui C_{p} é a capacidade calorífica (no nosso caso estamos usando a capacidade molar \mathrm{C}_{\mathrm{p},\mathrm{m}} pois temos um mol). Substituindo,
\mathrm{d}S=\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{p},\mathrm{m}}\,\mathrm{d}T}{T}.
Explicando as variáveis:
  • \mathrm{d}S é a variação infinitesimal de entropia (unidade \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}});
  • \mathrm{C}_{\mathrm{p},\mathrm{m}} é a capacidade calorífica molar à pressão constante (unidade \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}});
  • T é a temperatura absoluta (unidade \mathrm{K});
  • \mathrm{d}T é a variação infinitesimal de temperatura.
Observação prática: o enunciado dá \mathrm{C}_{\mathrm{p},\mathrm{m}} como um valor único ( 3,1\,R), então assumimos que \mathrm{C}_{\mathrm{p},\mathrm{m}} é aproximadamente constante no intervalo de temperatura dado — essa é a hipótese padrão para exercícios desse tipo.

Passo 3

Integração para obter a variação de entropia entre T_1 e T_2. Integrando a expressão anterior:
\Delta S=\int_{T_1}^{T_2}\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{p},\mathrm{m}}}{T}\,\mathrm{d}T.
Com \mathrm{C}_{\mathrm{p},\mathrm{m}} constante isso vira
\Delta S=\mathrm{C}_{\mathrm{p},\mathrm{m}}\int_{T_1}^{T_2}\frac{1}{T}\,\mathrm{d}T =\mathrm{C}_{\mathrm{p},\mathrm{m}}\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Aqui \ln é o logaritmo natural. Portanto a fórmula prática que usaremos é
\Delta S=\mathrm{C}_{\mathrm{p},\mathrm{m}}\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).

Passo 4

Substituir \mathrm{C}_{\mathrm{p},\mathrm{m}}=3,1\,R e os valores de temperatura. Usaremos a constante dos gases:
R = 8,314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
Logo
\mathrm{C}_{\mathrm{p},\mathrm{m}} = 3,1\,R = 3,1\times 8,314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} = 25,774834116\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}
(aprox).

Passo 5

Calcular o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=\ln\!\left(\frac{500}{300}\right)=\ln\!\left(\frac{5}{3}\right)\approx 0,510825624.

Passo 6

Multiplicar para obter \Delta S:
\Delta S = 25,774834116\times 0,510825624 \\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}\approx 13,17\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
Interpretação rápida: \Delta S>0 porque a temperatura aumentou — isso está de acordo com a ideia física de que aquecer um corpo aumenta sua entropia.

Resposta

\Delta S \approx 13,17\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}

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