A 25^{\circ} \mathrm{C}, calcule o valor de \Delta \mathrm{A} para uma expansão isotérmica de um mol de um gás ideal que varia de 10 litros para 40 litros.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tudo retirado do enunciado):
  • Temperatura: T=25^\circ\mathrm{C}.
  • Quantidade de substância: n=1 mol.
  • Processo: expansão isotérmica de um gás ideal.
  • Volume inicial: V_i=10\\ \mathrm{L}.
  • Volume final: V_f=40\\ \mathrm{L}.
  • O que pedir: calcular \Delta A (variação de A) para esse processo.

Passo 2

Entender o que é \Delta A e qual fórmula usar (a explicação passo a passo):
  • Em termodinâmica, a função de Helmholtz A (às vezes escrita F) é definida por
A = U - TS,
onde U é a energia interna, T a temperatura absoluta e S a entropia. A variação é
\Delta A = \Delta U - T\Delta S.
  • Para um gás ideal em processo isotérmico (temperatura constante), a energia interna depende só de T. Logo, em um processo isotérmico temos
\Delta U = 0.
  • Assim, para um processo isotérmico reversível,
\Delta A = -T\Delta S.
  • Para um gás ideal, a variação de entropia num processo reversível entre volumes V_i e V_f é
\Delta S = nR\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right),
onde R é a constante universal dos gases e n o número de mols.
  • Substituindo na expressão de \Delta A obtemos a fórmula que vamos usar:
\Delta A = -nRT\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right).
Explicação das variáveis:
  • n = número de mols (aqui 1).
  • R = constante dos gases ideal, com unidades \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
  • T = temperatura absoluta em kelvin.
  • V_i,V_f = volumes inicial e final (aparecem apenas como razão dentro do logaritmo, portanto unidades cancelam).

Passo 3

Preparar os valores numéricos e unidades:
  • Converter a temperatura para kelvin:
T = 25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Converter volumes para metro cúbico apenas para referência (não é estritamente necessário porque aparecem na razão):
V_i = 10\\ \mathrm{L} = 10\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3} = 0{,}010\\ \mathrm{m^3},
V_f = 40\\ \mathrm{L} = 40\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3} = 0{,}040\\ \mathrm{m^3}.
  • Constante dos gases (valor recomendado para cálculos em joules):
R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
  • Razão dos volumes:
\frac{V_f}{V_i}=\frac{40}{10}=4.

Passo 4

Calcular \Delta A passo a passo com números:
  • Primeiro calcule nRT:
nRT = 1\cdot R\cdot T = 8{,}314462618\cdot 298{,}15 \approx 2\,478{,}96\\ \mathrm{J}.
(foi feito produto direto e arredondado em seguida).
  • Agora calcule o logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=\ln(4)\approx 1{,}386294361.
  • Multiplicando:
nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)\approx 2\,478{,}96 \times 1{,}386294361 \approx 3\,436{,}56\\ \mathrm{J}.
  • Finalmente, usando a fórmula com o sinal:
\Delta A = -nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)\approx -3\,436{,}56\\ \mathrm{J}.
  • Arredondando para três algarismos significativos e escrevendo em quilojoules:
\Delta A \approx -3{,}44\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Interpretação curta e motivadora:
  • O sinal negativo indica que a função de Helmholtz diminui na expansão isotérmica reversível (o sistema perde energia livre que, em princípio, poderia ser convertida em trabalho útil).
  • Parabéns — com a fórmula \Delta A=-nRT\ln(V_f/V_i) você resolve rápido qualquer expansão isotérmica de gás ideal na prova.

Resposta

\Delta A \approx -3{,}44\\ \mathrm{kJ}

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