Verifique se as equações de campo de velocidade descritas abaixo são referentes à escoamentos de fluidos compressíveis ou incompressíveis.
V(x, y)=x^{2} y t \boldsymbol{i}+\left(x^{3}-\frac{y^{2} t}{2}\right) \boldsymbol{j}

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional dependente do tempo:
V(x,y)=x^{2} y t\,\boldsymbol{i}+\left(x^{3}-\frac{y^{2} t}{2}\right)\boldsymbol{j}.
O que se pede: verificar se esse campo descreve um escoamento de fluido compressível ou incompressível (isto é, determinar se a divergência do campo é identicamente nula ou não).
Informações relevantes que temos:
  • As componentes do campo dependem de x, y e do tempo t.
  • Componente na direção x: u(x,y,t)=x^{2}y t.
  • Componente na direção y: v(x,y,t)=x^{3}-\dfrac{y^{2}t}{2}.

Passo 2

Conceito necessário (explicado de forma simples): para um escoamento ser incompressível, o campo de velocidade deve satisfazer a condição de divergência nula em todo o domínio e para todo instante. A divergência em duas dimensões é definida por
\nabla\cdot V=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y},
onde u é a componente em \boldsymbol{i} e v a componente em \boldsymbol{j}. Fisicamente, \nabla\cdot V representa a taxa de variação relativa do volume (ou da área em 2D) de um elemento fluido; se for zero em todo lugar, volumes não mudam localmente e o escoamento é incompressível.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x} com u(x,y,t)=x^{2}y t.
Trate y e t como constantes ao derivar em relação a x. Usando a regra de potência:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y t\bigr)=2x\,y\,t.
Expliquei: derivei x^{2} e multipliquei pelo fator constante y t.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial v}{\partial y} com v(x,y,t)=x^{3}-\dfrac{y^{2}t}{2}.
Trate x e t como constantes ao derivar em relação a y. A derivada de x^{3} em relação a y é zero; a derivada de -\dfrac{y^{2}t}{2} é -y t. Logo:
\frac{\partial v}{\partial y}=0-\;y\,t=-y\,t.
Expliquei: usei a regra de potência na parte que depende de y e lembrei do sinal negativo.

Passo 5

Somar as parcelas para obter a divergência:
\nabla\cdot V=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=2x\,y\,t - y\,t.
Fatorando y t:
\nabla\cdot V = y\,t\,(2x-1).

Passo 6

Interpretação: para o escoamento ser incompressível é preciso que \nabla\cdot V\equiv 0 para todo (x,y,t). Aqui \nabla\cdot V=y\,t\,(2x-1), que não é identicamente zero — depende de x, y e t. Portanto, de modo geral o escoamento é compressível.
Observações úteis (tipo “quando seria incompressível”):
  • A divergência anula-se pontualmente quando y=0 ou t=0 ou x=\tfrac{1}{2}, mas isso são casos especiais (linhas, instantes ou vertical) e não tornam o escoamento globalmente incompressível.
  • Para ser incompressível globalmente seria necessário que a expressão fosse zero para todos os x,y,t, o que não acontece.

Resposta

Compressível.

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