Verifique se as equações de campo de velocidade descritas abaixo são referentes à escoamentos de fluidos compressíveis ou incompressíveis.
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional dependente do tempo:
O que se pede: verificar se esse campo descreve um escoamento de fluido compressível ou incompressível (isto é, determinar se a divergência do campo é identicamente nula ou não).
Informações relevantes que temos:
- As componentes do campo dependem de
, e do tempo . - Componente na direção
: . - Componente na direção
: .
Passo 2
Conceito necessário (explicado de forma simples): para um escoamento ser incompressível, o campo de velocidade deve satisfazer a condição de divergência nula em todo o domínio e para todo instante. A divergência em duas dimensões é definida por
onde
é a componente em
e
a componente em
. Fisicamente,
representa a taxa de variação relativa do volume (ou da área em 2D) de um elemento fluido; se for zero em todo lugar, volumes não mudam localmente e o escoamento é incompressível.
Passo 3
Calcular
com
.
Trate e
como constantes ao derivar em relação a
. Usando a regra de potência:
Trate
Expliquei: derivei
e multipliquei pelo fator constante
.
Passo 4
Calcular
com
.
Trate e
como constantes ao derivar em relação a
. A derivada de
em relação a
é zero; a derivada de
é
. Logo:
Trate
Expliquei: usei a regra de potência na parte que depende de
e lembrei do sinal negativo.
Passo 5
Somar as parcelas para obter a divergência:
Fatorando
:
Passo 6
Interpretação: para o escoamento ser incompressível é preciso que
para todo
. Aqui
, que não é identicamente zero — depende de
,
e
. Portanto, de modo geral o escoamento é compressível.
Observações úteis (tipo “quando seria incompressível”):
- A divergência anula-se pontualmente quando
ou ou , mas isso são casos especiais (linhas, instantes ou vertical) e não tornam o escoamento globalmente incompressível. - Para ser incompressível globalmente seria necessário que a expressão fosse zero para todos os
, o que não acontece.
Resposta
Compressível.