Um sólido à temperatura absoluta T é colocado em um campo magnético externo H=30,000 gauss. O sólido contém átomos paramagnéticos fracamente interagentes com spin \frac{1}{2}, de modo que a energia de cada átomo seja \pm \mu H.
Se o momento magnético \mu é igual a um magneton de Bohr, ou seja, \mu=0.927 \times 10^{-20} ergs/gauss, abaixo de que temperatura deve-se resfriar o sólido para que mais de 75 \% dos átomos estejam polarizados com seus spins paralelos ao campo magnético externo?

Passo 1

O enunciado trata de um sólido com átomos paramagnéticos de spin \tfrac12 em um campo externo H=3{,}0\times10^4 G. Cada átomo tem dois níveis de energia,
E_{\pm} = \pm \mu H,
com \mu=0{,}927\times10^{-20} erg/G. Queremos a temperatura tal que mais de 75\% dos átomos estejam no nível de menor energia (spin paralelo ao campo). Usaremos a estatística de Boltzmann.

Passo 2

A probabilidade de um átomo estar no nível de energia E_{-}=-\mu H é
P_{-} \;=\; \frac{e^{-\beta E_{-}}}{Z} \quad\text{com}\quad Z = e^{-\beta E_{-}} + e^{-\beta E_{+}} = e^{\beta\mu H} + e^{-\beta\mu H} = 2\operatorname{cosh}(\beta\mu H),
onde \beta=1/(k_B T).

Passo 3

Simplificando,
P_{-} = \frac{e^{\beta\mu H}}{2\operatorname{cosh}(\beta\mu H)} = \frac{1}{1 + e^{-2\beta\mu H}}.
Exigimos
\frac{1}{1 + e^{-2\beta\mu H}} > 0{,}75 \quad\Longrightarrow\quad e^{-2\beta\mu H} < \tfrac13 \quad\Longrightarrow\quad 2\beta\mu H > \ln 3 \quad\Longrightarrow\quad \beta\mu H > \tfrac12\ln3.

Passo 4

Substituindo \beta=1/(k_B T) obtemos
T < \frac{2\,\mu H}{k_B\,\ln 3}.
Usamos \mu H = 0{,}927\times10^{-20}\times3{,}0\times10^4 = 2{,}781\times10^{-16} erg e k_B=1{,}381\times10^{-16} erg/K.

Passo 5

Fazendo as contas,
T < \frac{2\times2{,}781\times10^{-16}}{1{,}381\times10^{-16}\times\ln3} \approx \frac{5{,}562\times10^{-16}}{1{,}516\times10^{-16}} \approx 3{,}7\\ \text{K}.

Resposta

Abaixo de aproximadamente 3{,}7 K.

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