6.2 Considere novamente o sistema do Problema 3.2, ou seja, N partículas fracamente interagentes, cada uma com spin \frac{1}{2} e momento magnético \mu, localizadas em um campo magnético externo H. Suponha que este sistema esteja em contato térmico com um reservatório de calor à temperatura absoluta T. Calcule sua energia média \bar{E} como funçāo de T e H. Compare o resultado com a resposta do Problema 3.2a.

Passo 1

O enunciado pede a energia média \bar{E} de um sistema de N spins \tfrac12 (momento magnético \mu) em campo externo H, em contato térmico a temperatura T. O conteúdo é Mecânica Estatística (ensemble canônico) e vamos usar particionamento de Boltzmann e a relação
\bar{E} = -\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta},
onde \beta = 1/(k_{B}T).

Passo 2

Cada partícula tem dois estados de energia
E_{\uparrow} = -\mu H,\quad E_{\downarrow} = +\mu H.
O fator de Boltzmann é \exp(-\beta E), então a função partição de uma partícula é
Z_{1} = e^{-\beta(-\mu H)} + e^{-\beta(+\mu H)} = e^{\beta\mu H} + e^{-\beta\mu H} = 2\operatorname{cosh}(\beta\mu H).

Passo 3

Como as partículas são fracamente interagentes (independentes), a partição total é o produto de N partições individuais:
Z = Z_{1}^{\,N} = \bigl[2\operatorname{cosh}(\beta\mu H)\bigr]^{N}.

Passo 4

Calculamos a energia média pelo diferencial em \beta:
\bar{E} = -\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta} = -\frac{\partial}{\partial \beta}\bigl[N\ln(2\operatorname{cosh}(\beta\mu H))\bigr] = -N\;\frac{1}{2\operatorname{cosh}(\beta\mu H)}\;2\operatorname{sinh}(\beta\mu H)\;\mu H
\bar{E} = -N\,\mu H\,\operatorname{tanh}\bigl(\beta\mu H\bigr) = -N\,\mu H\,\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{\mu H}{k_{B}T}\bigr).

Passo 5

No Problema 3.2a (ensemble microcanônico ou cálculo direto de ocupação), obtém-se exatamente a mesma expressão
\bar{E} = -N\,\mu H\,\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{\mu H}{k_{B}T}\bigr).
Portanto, o resultado coincide com o encontrado em 3.2a.

Resposta

\bar{E} = -N\,\mu H\,\operatorname{tanh}\!\Bigl(\frac{\mu H}{k_{B}T}\Bigr),
idêntico ao resultado do Problema 3.2a.

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