Um sólido à temperatura absoluta T é colocado em um campo magnético externo H=30,000 gauss. O sólido contém átomos paramagnéticos fracamente interagentes com spin \frac{1}{2}, de modo que a energia de cada átomo seja \pm \mu H.
Suponha que, em vez disso, se considere um sólido livre de átomos paramagnéticos mas que contenha muitos prótons (por exemplo, parafina). Cada próton possui spin \frac{1}{2} e um momento magnético \mu=1.41 \times 10^{-23} ergs/gauss. Abaixo de que temperatura deve-se resfriar este sólido para que mais de 75 \% dos prótons tenham seus spins alinhados paralelamente ao campo magnético externo?

Passo 1

O enunciado pede a temperatura abaixo da qual mais de 75 % dos prótons (spin 1/2, momento magnético \mu=1,41\times10^{-23} erg/G) se alinham paralelamente a um campo externo H=30\,000 G. O mecanismo é a distribuição de Boltzmann entre dois estados de energia \pm\mu H. Para resolver, vamos usar a física estatística de um sistema de dois níveis.

Passo 2

Denotando por N_{\uparrow} o número de prótons no estado de energia -\mu H (spin paralelo) e por N_{\downarrow} o do estado +\mu H, temos
\frac{N_{\uparrow}}{N_{\downarrow}} =\exp\!\biggl(\frac{E_{\downarrow}-E_{\uparrow}}{kT}\biggr) =\exp\!\Bigl(\frac{2\mu H}{kT}\Bigr).
Queremos
\frac{N_{\uparrow}}{N_{\uparrow}+N_{\downarrow}}>0,75 \quad\Longrightarrow\quad \frac{N_{\uparrow}}{N_{\downarrow}}>3,
pois \tfrac{x}{x+1}>0{,}75 x>3.

Passo 3

Impondo \exp\!\bigl(\tfrac{2\mu H}{kT}\bigr)=3 para achar a temperatura limiar, isolamos T:
T =\frac{2\mu H}{k\ln 3}.
Aqui usamos k=1,38\times10^{-16} erg/K.

Passo 4

Substituindo \mu=1,41\times10^{-23} erg/G e H=3,0\times10^{4} G,
2\mu H =2\times1{,}41\times10^{-23}\times3{,}0\times10^{4} =8{,}46\times10^{-19}\text{ erg},
então
T =\frac{8{,}46\times10^{-19}}{1{,}38\times10^{-16}\,\ln3} \approx5{,}6\times10^{-3}\text{ K}.

Resposta

A temperatura deve ficar abaixo de aproximadamente
5,6\times10^{-3}\text{ K}
para que mais de 75 % dos spins estejam alinhados paralelamente ao campo.

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