6.1 Um oscilador harmônico simples unidimensional possui níveis de energia dados por
, onde
é a frequência característica (angular) do oscilador e onde o número quântico
pode assumir os valores inteiros possíveis
. Suponha que tal oscilador esteja em contato térmico com um reservatório de calor à temperatura
suficientemente baixa de modo que
.
(a) Encontre a razāo entre a probabilidade de o oscilador estar no primeiro estado excitado e a probabilidade de ele estar no estado fundamental.
(b) Assumindo que apenas o estado fundamental e o primeiro estado excitado sejam apreciavelmente ocupados, encontre a energia média do oscilador como funçāo da temperatura
.
(a) Encontre a razāo entre a probabilidade de o oscilador estar no primeiro estado excitado e a probabilidade de ele estar no estado fundamental.
(b) Assumindo que apenas o estado fundamental e o primeiro estado excitado sejam apreciavelmente ocupados, encontre a energia média do oscilador como funçāo da temperatura
Passo 1
O enunciado trata de um oscilador harmônico unidimensional com níveis de energia
em contato térmico a temperatura
tal que
Pedem em (a) a razão de probabilidades
e em (b) a energia média supondo só
e
ocupados. Vamos usar a estatística canônica (fatores de Boltzmann) e a definição de energia média em termos da função partição.
Passo 2
Na estatística canônica, a probabilidade de ocupar o nível
é
Logo a razão entre
e
é
Passo 3
Para (b), restringimos a soma ao fundamental e ao primeiro excitado. A função partição aproximada é
A energia média vale
Passo 4
Substituindo
e
e definindo
, obtemos
Passo 5
Como
(isto é,
), podemos expandir para baixa temperatura:
Resposta
(a)
(b)
(b)