Ok, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a função y'' - 5y' + 6y = 0 que satisfaz a equação diferencial
e que também atende às condições iniciais e . Para isso, vamos seguir alguns passos básicos de resolução de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos r^2 - 5r + 6 = 0 por , o que nos leva a:
Essa é uma equação quadrática que precisamos resolver para encontrar os valores de .
Passo 3
Resolvendo a equação característica (r - 2)(r - 3) = 0 , podemos fatorá-la da seguinte maneira:
Assim, as soluções são e .
Passo 4
Com os valores de y(x) = A e^2x + B e^3x encontrados, a solução geral da equação diferencial homogênea é dada por:
onde e são constantes que vamos determinar utilizando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de y(0) = A e^0 + B e^0 = A + B = 2 e A + B = 2 (1) .
Primeiro, substituímos na solução geral:
Então, temos a primeira equação:
Passo 6
Em seguida, encontramos a derivada da solução geral:
y'(x) = 2A e^2x + 3B e^3x
Aplicamos a condição inicial para a derivada no ponto y'(0) = 2A + 3B = -1 :
2A + 3B = -1 (2)
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 7
Agora, vamos resolver o sistema de equações formado por (1) e (2).
Da equação (1):
A = 2 - B
Substituímos 2(2 - B) + 3B = -1 4 - 2B + 3B = -1 B = -5 na equação (2):