Um triângulo retângulo no plano cartesiano possui vértices A(0,0), B(6,0), e C(6,8). Determine:
Os valores de seno alpha, cosseno alpha e tangente de alpha, onde alpha é o ângulo formado pelo lado AC com a hipotenusa

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um triângulo retângulo no plano cartesiano com vértices A(0,0), B(6,0) e C(6,8). O conteúdo é trigonometria em triângulo retângulo, e vamos usar as definições de seno, cosseno e tangente em função dos comprimentos dos lados.

Passo 2

Identificação da hipotenusa e dos catetos: observando as coordenadas, AB é paralelo ao eixo x e BC ao eixo y, logo AB ⟂ BC e o ângulo reto fica em B. O lado oposto ao ângulo reto (hipotenusa) é AC.

Passo 3

Cálculo dos comprimentos dos lados usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Calcular AB:
AB=raiz(6-0)^2+(0-0)^2=raiz36=6
Calcular BC:
BC=raiz(6-6)^2+(8-0)^2=raiz64=8
Calcular AC (hipotenusa):
AC=raiz(6-0)^2+(8-0)^2=raiz36+64=raiz100=10

Passo 4

Definição do ângulo α: α é o ângulo no vértice A, formado entre o cateto AB (adjacente) e a hipotenusa AC. O cateto oposto a α é BC e o cateto adjacente a α é AB.

Passo 5

Cálculo das razões trigonométricas: usando as definições para um ângulo α em triângulo retângulo, temos:
Seno de α:
sinalpha=cateto opostohipotenusa=BCAC=810=45
Cosseno de α:
cosalpha=cateto adjacentehipotenusa=ABAC=610=35
Tangente de α:
tanalpha=cateto opostocateto adjacente=BCAB=86=43

Resposta

sinalpha=tfrac45, cosalpha=tfrac35, tanalpha=tfrac43

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