Para calcular la integral doble integral duplaR f(x, y) d x d y, se necesita expresar R como la unión de subregiones y aplicar la propiedad c del teorema 6.3.1 Escriba en cada caso la correspondiente suma de integrales iteradas, viendo a las subregiones de R como regiones: a. del tipo (I), b. del tipo (II).

Passo 1

La cuestión pide descomponer la región R en subregiones y usar la propiedad de aditividad de la integral doble para escribirla como suma de integrales iteradas.

Passo 2

Si vemos cada subregión como una región de tipo I, para i=1,…,n definimos R_i=
{(x,y) : a_{i-1} ≤ x ≤ a_i,
g(x) ≤ y ≤ h(x)}
de modo que R=⋃_{i=1}^n R_i y las R_i no se solapan excepto en sus fronteras. Entonces aplicamos la integral iterada en x-y de izquierda a derecha.

Passo 3

Si en cambio vemos cada subregión como una región de tipo II, para j=1,…,m definimos S_j=
{(x,y) : c_{j-1} ≤ y ≤ c_j,
p(y) ≤ x ≤ q(y)}
de modo que R=⋃_{j=1}^m S_j y las S_j no se solapan excepto en sus fronteras. Entonces aplicamos la integral iterada en y-x de abajo hacia arriba.

Resposta

Para las subregiones de tipo I:
integral duplaRf(x,y),dx,dy =sumi=1^nintegralx=ai-1^ail(integraly=g(x)^h(x)f(x,y),dyr),dx
Para las subregiones de tipo II:
integral duplaRf(x,y),dx,dy =sumj=1^mintegraly=cj-1^cjl(integralx=p(y)^q(y)f(x,y),dxr),dy

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