Para calcular la integral doble
, se necesita expresar
como la unión de subregiones y aplicar la propiedad c del teorema 6.3.1 Escriba en cada caso la correspondiente suma de integrales iteradas, viendo a las subregiones de
como regiones: a. del tipo (I), b. del tipo (II).
Passo 1
La cuestión pide descomponer la región R en subregiones y usar la propiedad de aditividad de la integral doble para escribirla como suma de integrales iteradas.
Passo 2
Si vemos cada subregión como una región de tipo I, para i=1,…,n definimos R_i=
{(x,y) : a_{i-1} ≤ x ≤ a_i,
g(x) ≤ y ≤ h(x)}
de modo que R=⋃_{i=1}^n R_i y las R_i no se solapan excepto en sus fronteras. Entonces aplicamos la integral iterada en x-y de izquierda a derecha.
{(x,y) : a_{i-1} ≤ x ≤ a_i,
g(x) ≤ y ≤ h(x)}
de modo que R=⋃_{i=1}^n R_i y las R_i no se solapan excepto en sus fronteras. Entonces aplicamos la integral iterada en x-y de izquierda a derecha.
Passo 3
Si en cambio vemos cada subregión como una región de tipo II, para j=1,…,m definimos S_j=
{(x,y) : c_{j-1} ≤ y ≤ c_j,
p(y) ≤ x ≤ q(y)}
de modo que R=⋃_{j=1}^m S_j y las S_j no se solapan excepto en sus fronteras. Entonces aplicamos la integral iterada en y-x de abajo hacia arriba.
{(x,y) : c_{j-1} ≤ y ≤ c_j,
p(y) ≤ x ≤ q(y)}
de modo que R=⋃_{j=1}^m S_j y las S_j no se solapan excepto en sus fronteras. Entonces aplicamos la integral iterada en y-x de abajo hacia arriba.
Resposta
Para las subregiones de tipo I:
Para las subregiones de tipo II: