A solubilidade do sulfato de chumbo é 4,25 \mathrm{mg} por 100 mL a 25^{\circ} \mathrm{C}. Calcule:
a. Ks a 25^{\circ} \mathrm{C};
b. solubilidade molar em solução 0,010 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} de \mathrm{Na}_{2} \mathrm{SO}_{4}.

Passo 1

O enunciado dá a solubilidade do sulfato de chumbo como 4,25\\ \mathrm{mg} por 100\\ \mathrm{mL} a 25^\circ\mathrm{C} e pede duas coisas:
  1. Calcular K_{sp} do \mathrm{PbSO_4} a 25^\circ\mathrm{C}.
  2. Calcular a solubilidade molar do \mathrm{PbSO_4} em uma solução que já contém \;0{,}010\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}} de \mathrm{Na_2SO_4}.
Informações relevantes do enunciado:
  • Solubilidade em massa: 4{,}25\\ \mathrm{mg} por 100\\ \mathrm{mL}.
  • Concentração inicial de \mathrm{SO_4^{2-}} na parte (b): 0{,}010\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}} (pela dissociação completa de \mathrm{Na_2SO_4}).
  • Reação de dissolução do sal (implícita): \mathrm{PbSO_4(s)} \rightleftharpoons \mathrm{Pb^{2+}} + \mathrm{SO_4^{2-}}.

Passo 2

Converter a solubilidade em massa para solubilidade molar (moles por litro). Primeiro passo: transformar 4{,}25\\ \mathrm{mg/100\\ mL} em \mathrm{g/L}.
4{,}25\\ \mathrm{mg/100\\ mL} = 0{,}00425\\ \mathrm{g/0{,}1\\ L} = 0{,}0425\\ \mathrm{g/L}.
Agora calculamos a massa molar do \mathrm{PbSO_4}. Usando massas atômicas aproximadas:
M(\mathrm{PbSO_4}) = M(\mathrm{Pb}) + M(\mathrm{S}) + 4M(\mathrm{O})
M(\mathrm{PbSO_4}) = 207{,}2 + 32{,}06 + 4\times16{,}00 = 303{,}26\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
A solubilidade molar s (mol/L) é:
s = \frac{0{,}0425\\ \mathrm{g/L}}{303{,}26\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}}.

Passo 3

Calcular numericamente s:
s = \frac{0{,}0425}{303{,}26} \approx 1{,}4016\times 10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Arredondando com 3 algarismos significativos (condizente com 4{,}25 mg): s \approx 1{,}40\times 10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Explanação curta: s é a concentração de \mathrm{Pb^{2+}} e também, em água pura, a concentração de \mathrm{SO_4^{2-}}, porque cada mol de \mathrm{PbSO_4} que se dissolve produz 1 mol de cada íon.

Passo 4

Relacionar s com o produto de solubilidade K_{sp}. Para a reação
\mathrm{PbSO_4(s)} \rightleftharpoons \mathrm{Pb^{2+}} + \mathrm{SO_4^{2-}},
o produto de solubilidade é
K_{sp} = [\mathrm{Pb^{2+}}]\,[\mathrm{SO_4^{2-}}].
Em água pura, [\mathrm{Pb^{2+}}]=s e [\mathrm{SO_4^{2-}}]=s, portanto
K_{sp} = s^2.

Passo 5

Calcular K_{sp} usando o s encontrado:
K_{sp} = (1{,}4016\times 10^{-4})^2 \approx 1{,}9645\times 10^{-8}.
Arredondando para 3 algarismos significativos:
K_{sp} \approx 1{,}96\times 10^{-8}.
Breve comentário didático: K_{sp} é uma constante de equilíbrio que nos diz o quão pouco solúvel o sal é. Pequeno K_{sp} → sal pouco solúvel.

Passo 6

Agora a parte (b): solubilidade em presença de íon comum \mathrm{SO_4^{2-}}. Expliquei o conceito: adicionar \mathrm{Na_2SO_4} fornece um excesso de \mathrm{SO_4^{2-}} que desloca o equilíbrio para a esquerda, diminuindo a solubilidade do \mathrm{PbSO_4} (efeito do íon comum).
Definimos s' = solubilidade molar de \mathrm{PbSO_4} na solução que já contém \;0{,}010\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}} de \mathrm{SO_4^{2-}}. No equilíbrio:
[\mathrm{Pb^{2+}}] = s',
[\mathrm{SO_4^{2-}}] = 0{,}010 + s' \approx 0{,}010\\ \text{(se \(s'\ll 0{,}010\))}.
A expressão do K_{sp} passa a ser
K_{sp} = s'(0{,}010 + s').

Passo 7

Resolver para s'. Temos a equação quadrática
s'^2 + 0{,}010\,s' - K_{sp} = 0.
Usamos o valor calculado de K_{sp}=1{,}9645\times 10^{-8}. Mas primeiro a aproximação usual: como K_{sp} é muito pequeno, espera-se s'\ll 0{,}010, então podemos aproximar
K_{sp} \approx s'\times 0{,}010 \quad\Rightarrow\quad s' \approx \frac{K_{sp}}{0{,}010}.
Aplicando:
s' \approx \frac{1{,}9645\times 10^{-8}}{1{,}0\times 10^{-2}} = 1{,}9645\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.

Passo 8

Verificar a validade da aproximação: comparar s' com 0{,}010.
\frac{s'}{0{,}010} \approx \frac{1{,}9645\times 10^{-6}}{1{,}0\times 10^{-2}} = 1{,}9645\times 10^{-4} \ll 1,
portanto a aproximação é boa.
Se quisermos ser rigorosos, podemos resolver a quadrática pelo fórmula de Bhaskara:
s' = \frac{-0{,}010 + \sqrt{(0{,}010)^2 + 4K_{sp}}}{2},
substituindo K_{sp} obtemos praticamente o mesmo valor s'\approx 1{,}9645\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.

Resposta

(a) K_{sp} \approx 1{,}96\times 10^{-8}.
(b) Solubilidade molar em 0{,}010\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}} de \mathrm{Na_2SO_4}: s' \approx 1{,}96\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.

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