O pH de uma solução 0,0120 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} de uma base fraca BOH foi determinado experimentalmente a 25^{\circ} \mathrm{C} como sendo 11,400. Calcule o \mathrm{K}_{\mathrm{b}} da base.
\left[O H^{-}\right]^{3}+K_{b} \cdot\left[O H^{-}\right]^{2}+\left(-K_{b} C_{b}-K_{w}\right) \cdot\left[O H^{-}\right]-K_{b} K_{w}=0

Passo 1

O enunciado fornece:
C_b=0,0120\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
\text{pH}=11,400\quad\text{a }25^\circ\mathrm{C}
e pede o valor de K_b da base fraca BOH. Foi dada também a equação cúbica
\left[OH^-\right]^3+K_b\cdot\left[OH^-\right]^2+(-K_b C_b-K_w)\cdot\left[OH^-\right]-K_b K_w=0,
que é a forma completa que relaciona K_b, C_b, [OH^-] e K_w.
Informações úteis padrão a 25^\circ\mathrm{C}: \,K_w=1,0\times 10^{-14}.

Passo 2

Primeiro vamos transformar a \text{pH} em [OH^-]. Lembre-se das definições:
pOH=14 - pH
[OH^-]=10^{-pOH}
Então
pOH=14-11,400=2,600.
Logo
[OH^-]=10^{-2,600}.
Para calcular mentalmente: 10^{-2,600}=10^{-3}\cdot 10^{0,400}=0,001\cdot 10^{0,4} e 10^{0,4}\approx 2,511886. Portanto
[OH^-]=2,511886\times 10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 3

Agora montamos as relações de equilíbrio e balanços de matéria para a base fraca BOH que se ioniza:
BOH \rightleftharpoons B^+ + OH^-.
A constante de basicidade é
K_b=\frac{[B^+][OH^-]}{[BOH]}.
As quantidades relacionadas são:
[B^+]=[OH^-]-[H^+]\quad\text{(porque o excesso de }[OH^-]\text{ sobre }[H^+]\text{ vem da base)}
e
[H^+]=\frac{K_w}{[OH^-]}.
Também a massa de base total dá
[BOH]=C_b-[B^+].
Vou usar essas expressões para escrever K_b em termos de [OH^-], C_b e K_w.

Passo 4

Substituindo [B^+]=[OH^-]-\dfrac{K_w}{[OH^-]} em K_b=\dfrac{[B^+][OH^-]}{[BOH]} e usando [BOH]=C_b-[B^+] obtemos:
[B^+][OH^-]=\left([OH^-]-\frac{K_w}{[OH^-]}\right)[OH^-]=[OH^-]^2-K_w,
[BOH]=C_b-[OH^-]+\frac{K_w}{[OH^-]}.
Portanto uma forma direta para K_b é
K_b=\frac{[OH^-]^2-K_w}{\,C_b-[OH^-]+\dfrac{K_w}{[OH^-]}\,}.
Esta expressão é equivalente à equação cúbica dada no enunciado, mas é mais prática para calcular K_b quando [OH^-] já é conhecido.

Passo 5

Agora substituímos os números. Primeiro calculemos [H^+] (apenas para ver o termo de água):
[H^+]=\frac{K_w}{[OH^-]}=\frac{1,0\times 10^{-14}}{2,511886\times 10^{-3}}=3,98107\times 10^{-12}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Isso mostra que [H^+] é desprezivelmente pequeno comparado a [OH^-]. Em seguida:
[BOH]=C_b-[OH^-]+\frac{K_w}{[OH^-]}=0,0120-0,002511886+3,98107\times 10^{-12}=0,009488114\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 6

Calculamos o numerador [OH^-]^2-K_w e dividimos por [BOH]:
[OH^-]^2= (2,511886\times 10^{-3})^2=6,309573\times 10^{-6}.
Como K_w=1,0\times 10^{-14} é muito menor que [OH^-]^2, temos [OH^-]^2-K_w\approx 6,309573\times 10^{-6}. Assim
K_b=\frac{6,309573\times 10^{-6}}{0,009488114}=6,65\times 10^{-4}\\ (\text{aproximadamente}).

Passo 7

Comentário didático rápido: se alguém fizesse a aproximação grosseira K_b\approx\dfrac{[OH^-]^2}{C_b} (ignorando que parte da base já está dissociada), obteria
K_b\approx\frac{6,309573\times 10^{-6}}{0,0120}=5,26\times 10^{-4},
que difere cerca de 20–25% do valor correto. Por isso vale a pena usar a expressão completa do Passo 4 quando [OH^-] não é muito pequeno frente a C_b.

Resposta

K_b\approx 6,65\times 10^{-4}

Exercícios relacionados