Uma base fraca a 25{ }^{\circ} \mathrm{C} formou uma solução com \mathrm{pH}=8,750 quando sua concentração era de 0,100 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}. Qual é o \mathrm{K}_{\mathrm{b}} dessa base?
\left[O H^{-}\right]^{3}+K_{b} \cdot\left[O H^{-}\right]^{2}+\left(-K_{b} C_{b}-K_{w}\right) \cdot\left[O H^{-}\right]-K_{b} K_{w}=0

Passo 1

O enunciado pede o valor de K_b de uma base fraca, dado que: a solução a 25^\circ\mathrm{C} tem \mathrm{pH}=8,750 quando a concentração inicial da base é C_b=0,100\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}. Também foi apresentada a equação cúbica geral
\left[OH^-\right]^3 + K_b\cdot\left[OH^-\right]^2 +\left(-K_b C_b - K_w\right)\cdot\left[OH^-\right] - K_b K_w = 0.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • \mathrm{pH}=8,750.
  • C_b = 0,100\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Temperatura 25^\circ\mathrm{C} (portanto \,K_w=1,0\times 10^{-14}\,).
  • Queremos encontrar K_b da base fraca.

Passo 2

Primeiro transforme a \mathrm{pH} em \left[OH^-\right], porque a expressão de K_b envolve \left[OH^-\right].
A relação entre \mathrm{pH} e \mathrm{pOH} é
\mathrm{pOH}=14,00-\mathrm{pH}.
Substituindo,
\mathrm{pOH}=14,00-8,750=5,250.
A concentração de íons hidroxila é
\left[OH^-\right]=10^{-\mathrm{pOH}}=10^{-5,250}.
Calcule 10^{-5,250} fazendo 10^{-5,250}=10^{-5}\cdot 10^{-0,250}. Como 10^{0,250}\approx 1,778279, temos 10^{-0,250}\approx 0,562341. Portanto
\left[OH^-\right]=10^{-5}\cdot 0,562341 \approx 5,62341\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Passo 3

Agora vamos relacionar K_b com as concentrações em equilíbrio. Para a base B atuando em água:
B + H_2O \rightleftharpoons BH^+ + OH^-.
A constante de equilíbrio é
K_b=\dfrac{[BH^+][OH^-]}{[B]}.
Precisamos escrever [BH^+] e [B] em função de [OH^-] e de C_b. Use duas relações físicas simples:
  1. Balanço de cargas (eletroneutralidade): as cargas positivas igualam as negativas. As espécies iônicas presentes são BH^+, H^+ e OH^-. Assim
[BH^+] + [H^+] = [OH^-].
Desse modo
[BH^+] = [OH^-] - [H^+].
Mas [H^+] pode ser obtido por K_w: [H^+] = \dfrac{K_w}{[OH^-]}. Logo
[BH^+] = [OH^-] - \dfrac{K_w}{[OH^-]}.
  1. Balanço de matéria para a base (conservação da espécie química):
C_b = [B] + [BH^+],
portanto
[B] = C_b - [BH^+] = C_b - [OH^-] + \dfrac{K_w}{[OH^-]}.
Substituindo [BH^+] e [B] na expressão de K_b,
K_b = \dfrac{\left([OH^-] - \dfrac{K_w}{[OH^-]}\right)\,[OH^-]}{C_b - [OH^-] + \dfrac{K_w}{[OH^-]}}.
Multiplicando numerador e denominador por [OH^-] obtém-se a forma simplificada útil
K_b=\dfrac{[OH^-]^2 - K_w}{\,C_b[\,] - [OH^-] + \dfrac{K_w}{[OH^-]}\,}
ou melhor escrita em bloco:
K_b=\dfrac{[OH^-]^2 - K_w}{\,C_b - [OH^-] + \dfrac{K_w}{[OH^-]}\,}.
(Observação didática: essa expressão resulta da combinação do equilíbrio K_b com as condições de massa e carga; a equação cúbica fornecida no enunciado é a forma algébrica equivalente em [OH^-].)

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos: [OH^-]=5,62341\times 10^{-6}, K_w=1,0\times 10^{-14} e C_b=0,100.
Calcule o numerador:
[OH^-]^2 = (5,62341\times 10^{-6})^2 = 3,16228\times 10^{-11}.
Então
[OH^-]^2 - K_w = 3,16228\times 10^{-11} - 1,0\times 10^{-14} \approx 3,16128\times 10^{-11}.
Calcule o termo \dfrac{K_w}{[OH^-]}:
\dfrac{K_w}{[OH^-]}=\dfrac{1,0\times 10^{-14}}{5,62341\times 10^{-6}}\approx 1,77828\times 10^{-9}.
Calcule o denominador:
C_b - [OH^-] + \dfrac{K_w}{[OH^-]} = 0,100 - 5,62341\times 10^{-6} + 1,77828\times 10^{-9}
\approx 0,0999943784.
Portanto
K_b \approx \dfrac{3,16128\times 10^{-11}}{0,0999943784}\approx 3,1615\times 10^{-10}.
Como checagem rápida: a aproximação usual (desprezar K_w e usar [BH^+]\approx[OH^-] quando a ionização é pequena) daria
K_b \approx \dfrac{[OH^-]^2}{C_b}=\dfrac{3,16228\times 10^{-11}}{0,100}=3,16228\times 10^{-10},
valor praticamente idêntico — logo nossa conta é consistente.

Passo 5

Respire fundo: cheguei ao valor numérico de K_b. É um número muito pequeno (base fraca pouco ionizada), o que faz sentido com \mathrm{pH} próximo de neutro.

Resposta

K_b = 3,16\times 10^{-10}

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